Permutazioni
Ciao a tutti, chiedo cortesemente a qualcuno se può spiegarmi in maniera comprensibile e "facile" le permutazioni, ma in particolar modo la segnatura, la trasposizione, ma soprattutto vorrei capire come questo argomento c'entri col determinante di una matrice..vorrei avere le idee più chiare, non tanto su come si calcola il determinante, ma proprio su questa parte che ho citato, che mi risulta evidentemente ostica.
Risposte
Prima di approfondire ti chiedo di essere un po' più specifica e di riportare qui il o i passaggi teorici che non ti sono chiari.
Oh sì, giusto! Allora non capisco quando sul libro leggo: ogni permutazione $ sigma $ ha una segnatura sgn($ sigma $) $ in $ {-1, +1} definita come
sgn ($ sigma $) = $ prod_(1<= i < j<= n) (sigma (j)-sigma (i))/(j-i) $. Questo numero è $ +- $ 1 perchè si può scrivere come una frazione in cui sia denominatore che numeratore sono prodotto di n(n-1)/2 interi, e i fattori al denominatore e al numeratore sono gli stessi salvo che per il segno (sempre positivo al denominatore, variabile al numeratore); dunque sgn ($ sigma $) è il prodotto di n(n-1)/2 fattori ciascuno uguale a $ +- $ 1.
Questa parte proprio non la capisco
sgn ($ sigma $) = $ prod_(1<= i < j<= n) (sigma (j)-sigma (i))/(j-i) $. Questo numero è $ +- $ 1 perchè si può scrivere come una frazione in cui sia denominatore che numeratore sono prodotto di n(n-1)/2 interi, e i fattori al denominatore e al numeratore sono gli stessi salvo che per il segno (sempre positivo al denominatore, variabile al numeratore); dunque sgn ($ sigma $) è il prodotto di n(n-1)/2 fattori ciascuno uguale a $ +- $ 1.
Questa parte proprio non la capisco
Il testo mi sembra scritto chiaramente. Sostanzialmente osserva che quel prodotto (dove $sigma$ è una permutazione fissata) è uguale a $1$ o a $-1$; in altre parole, se tu scrivi per esteso quel prodotto, ti accorgi che il denominatore è
\[ (2 - 1) \cdot ( 3 - 1) \;\cdot \;... \;\cdot\;( n - 1 )\; \cdot \;... \;\cdot \;(n - (n-1)) \]
e sono $(n(n-1))/2$ fattori (calcoletto combinatorio).
Epperò al numeratore la situazione non è affatto diversa. Anche qui hai un prodotto di $(n(n-1))/2$ interi, che sono gli stessi che hai al numeratore, eventualmente con segno diverso (essere $j > i$ non implica che $sigma(j) > sigma(i)$: il segno del numeratore dipenderà dalla permutazione). Allora numeratore e denominatore si cancellano e rimane solo $+1$ o $-1$ a seconda che numeratore e denominatore abbiano segno concorde o discorde.
\[ (2 - 1) \cdot ( 3 - 1) \;\cdot \;... \;\cdot\;( n - 1 )\; \cdot \;... \;\cdot \;(n - (n-1)) \]
e sono $(n(n-1))/2$ fattori (calcoletto combinatorio).
Epperò al numeratore la situazione non è affatto diversa. Anche qui hai un prodotto di $(n(n-1))/2$ interi, che sono gli stessi che hai al numeratore, eventualmente con segno diverso (essere $j > i$ non implica che $sigma(j) > sigma(i)$: il segno del numeratore dipenderà dalla permutazione). Allora numeratore e denominatore si cancellano e rimane solo $+1$ o $-1$ a seconda che numeratore e denominatore abbiano segno concorde o discorde.
Grazie davvero 
Figurati. Spero di essere stato chiaro.
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