Permanenza segno con intorni

[Bluff1]

Ciao a tutti.
Dovrei dimostrare il teorema della permanenza del segno( Sia $f:RR->RR$ una funzione continua in un punto $p in RR$. Si dimostri che se $f(p)>0$ allora esiste un intervallo aperto contenente $p$ tale che $f$ è positiva per ogni punto dell'intervallo).

Ho provato a procedere in questo modo: sapendo che la funzione è continua nel punto $p$ allora esiste un intorno di questo punto tale che $AA x in I(p)$ allora $f(p)-\epsilon <= f(x) <= f(p)+\epsilon$.
Se $f(p)>0$ prendo $\epsilon=f(p)/2$ allora avremo che $f(x)>0 AA x in I(p)$. Può andare bene come dimostrazione?

[Ravok]

Ciao,
sono secoli che non riprendo la matematica, ma mi sembra che la tua dimostrazione vada bene..

Per la definizione di continuità di $f$ in $p$,
$forall$$epsilon>0$ $ exists delta_(epsilon)>0$ tc
se $x in RR$ e $||x-p||
Sappiamo $f(p)=m>0$. Sappiamo anche esistere $I_(epsilon)$, dove $I_(epsilon)={x in RR $ tc $ ||x-p||< delta_(epsilon)}$, tale che $||f(x)-f(p)||
Prendiamo allora $epsilon=m/2$, per esempio, e abbiamo che $0 < m/2 < f(x) < 3/2 m$ $forall x in I_(epsilon)$.

Notte notte

[alberto861]

Vale la seguente versione piu' generale: Sia $X$ uno spazio topologico, $f:X\rightarrow \mathbb{R}$ una mappa continua, $p\in X$ con $f(p)>0$ allora esiste un aperto di $p$ dove $f>0$. Nel tuo caso una base per gli aperti di $X$ sono proprio gli intervalli aperti per cui segue il tuo risultato. Dimostrazione immediata: esiste $h>0$ con $f(p)>h$, l'intervallo $I=(h,+\infty)$ e' un aperto di $\mathbb{R}$, $f^{-1}(I)$ e' un aperto di $X$ perche' per ipotesi $f$ e' continua.