Perché un'applicazione affine è differenziabile?

[asabasa]

Come da titolo perché un'applicazione affine è differenziabile?

[gugo82]

Conoscendo le definizioni di applicazione affine e di applicazione differenziabile, si risponde in mezzo minuto...

[asabasa]

Le definizioni sono queste:

1)$f$ è un'applicazione affine tra due spazi affini $A,E$ modellati $B,F$spazi vettoriali se

$EE F :B->F$ tale che
$f(x+v)=f(x)+F(v)$ $AA x inA , AAvinB$
$f(y)-f(x)=F(y-x)$ $AA x,y inA$

2)Un'applicazione $f : XsubA->E$ è differenziabile in un punto $x_o$ se
$x_o$ interno ad X
e se esiste un'applicazione affine
$g:A->E$ tale che la differenza $phi=f-g|_X $ è nulla nel punto $x_o$
(quindi $f(x_o)~~g(x_o)$ in un intorno di $x_o$ si ha $f(x)~~g(x)$ , poichè $g(x)=g(x_o) + G(x-x_o) ->f(x)=g(x_o) + G(x-x_o) ->g(x)=f(x_o) + d_{x_o}f(x-x_o)$ il differenziale $d_{x_o}f$ coincide con la parte lineare di $g$)

$|phi(x_o)|=0$ ed è un infinitesimo di ordine superiore in $x_o$ , $lim_{x \to \infty}|phi(x_o)|/{|x-x_o|}=0$
(e il differenziale $d_{x_o}f$ coincide con la parte lineare di $g$)

Dalla definizione di applicazione differenziabile, $f$ si deve approssimare ad un'applicazione affine, ma nel caso sia essa stessa affine si approssima a se stessa? e si ha $f(x)=f(x_o)+d_{x_o}f(x-x_o)$