Perché una matrice ortogonale rappresenta un'isometria?

[borador]

Ciao ragazzi, non riesco a dimostrare che una matrice ortogonale rappresenta un'isometria.
Io sto ragionando in questo modo: devo dimostrare che se $M$ è una matrice ortogonale, allora, se il prodotto scalare è $$ devo avere:
$ = $

Solo che non riesco a procedere! So che se $M$ è ortogonale le colonne formano una base ortonormale rispetto al prodotto scalare canonico, e a dir la verità
mi torna che "funzioni", solo che non riesco a formalizzarlo!
Mi dareste una mano?

[maurer]

E' un "trick" algebrico abbastanza stupido, che mi dimentico anch'io tutte le volte. Sappiamo che [tex]M M^t = I[/tex]. Poniamo [tex]\mathbf w = M \mathbf y[/tex]. Allora [tex]\mathbf y = M^t \mathbf w[/tex], pertanto [tex]\langle \mathbf x, \mathbf y \rangle = \langle \mathbf x, M^t \mathbf w \rangle = \langle M \mathbf x, \mathbf w \rangle = \langle M \mathbf x, M \mathbf y \rangle[/tex].

P.S. L'uguaglianza [tex]\langle \mathbf x, M^t \mathbf w \rangle = \langle M \mathbf x, \mathbf w \rangle[/tex] ti è chiara?

[dissonance]

Ma quello $<<,>>$ è il prodotto scalare canonico. Quella proprietà che dici funziona solo rispetto al prodotto scalare canonico, se lo cambi le matrici ortogonali cambiano. Usa il fatto che $M^TM=I$ e ricorda che $<>=<>$ (anche qui, è importante che $<<, >>$ sia il prodotto scalare canonico, altrimenti anche l'operazione $A mapsto A^T$ cambia).

[borador]

Ma è bellissimo!
Si, l'uguaglianza mi è chiara, dovrebbe derivare dal fatto che la trasposta di M è uguale alla sua inversa.

Però perdonami, io non ci sarei mai arrivato a farlo da solo... Se dovessi dimostrarlo "a mano", come potrei procedere?
Stavo pensando che forse mi basterebbe ragionare sulla base canonica, ovvero: prendo la base canonica e applico M a ogni vettore, ottengo n vettori.
Di questi vettori io so che, per ognuno, la norma dev'essere uguale a quella dei vettori della base canonica (cioè 1) e gli angoli devono essere gli stessi di quelli della base canonica (cioè ortogonali).
Per cui gli n vettori dovranno essere tali che $ = 1$ e $ = 0$ se $v!=w$...

Può essere o è troppo arrangiato?

[maurer]

Ambo i membri sono bilineari, quindi in effetti basta verificare l'uguaglianza sui membri di una base. In altre parole basta controllare che [tex]\langle \mathbf e_i, \mathbf e_j \rangle = \langle M \mathbf e_i, M \mathbf e_j \rangle[/tex] e qui tu giustamente osservi che l'uguaglianza segue perché le colonne di [tex]M[/tex] formano una base ortonormale dello spazio.
Sì, mi sembra che possa andare. Comunque, neanch'io ci ho pensato la prima volta. Mi è stato semplicemente detto!

[borador]

Grazie per l'aiuto!
dissonance, scusa ma non ho capito cosa intendi... Dici che come sto ragionando non va bene per prodotti scalari differenti da quello canonico?

[jitter1]

Ecco che sono incappata anch'io in questo fatto...

"borador":Io sto ragionando in questo modo: devo dimostrare che se M è una matrice ortogonale, allora, se il prodotto scalare è devo avere:
=

Chiedo un chiarimento qui: perché $ vec(x) $ viene preso in generale diverso da $ vec(y) $? Sarebbe corretto ragionare come sotto?

Devo dimostrare che la lunghezza di un vettore $ vec(x) $ è uguale a quella della sua immagine $ vec(y) $ = $A vec(x) $, dove A è ortogonale.

< $ vec(y) $, $ vec(y) $> = < $ A vec(x) $, $ Avec(x) $> =
= $ (A vec(x))^t I (Avec(x))$ (dove I individua il prodotto standard)
= $ vec(x)^t A^t A vec(x)$ = $vec(x)^t vec(x)$ = $vec(x)^t I vec(x)$ = $$

Grazie, ciao

[dissonance]

Si è corretto. C'è un pochino di disaccordo notazionale su questo punto, da cui la confusione. Infatti stando all'etimologia della parola una isometria è quello che dici tu: una applicazione che conserva le lunghezze. Per essere precisi al massimo, questo concetto è definito in spazi molto più generali degli spazi euclidei: in uno spazio metrico \((X, d)\) una isometria di \(X\) in sé è una applicazione
\[ I \colon X \to X\]
tale che
\[ d(I(x_1),I(x_2))=d(x_1, x_2)\]
per ogni \(x_1, x_2\in X\).

Quindi una isometria dello spazio euclideo in sé è una mappa \(I\colon \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n\) tale che
\[\tag{1}
\lVert I(x_1)-I(x_2)\rVert^2 = \langle I(x_1)-I(x_2), I(x_1)-I(x_2)\rangle = \langle x_1-x_2, x_1-x_2\rangle = \lVert x_1-x_2\rVert^2,
\]
per ogni \(x_1, x_2\in \mathbb{R}^n\), il che come vedi è una condizione più debole rispetto a quanto visto in questo thread: ad esempio, una traslazione la soddisfa però una traslazione non è lineare. L'argomento è chiarito completamente da un teorema:

Teorema [Classificazione delle isometrie euclidee (se ti piace il nome)]
Una applicazione \(I\colon \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n\) è una isometria se e solo se esiste una matrice ortogonale \(M\) e un vettore \(v\) tali che
\[\tag{2} I(x)=Mx+v, \qquad \forall x\in \mathbb{R}^n.\]

A causa di questo risultato, spesso si confondono i termini e si dice che una isometria è una applicazione come in (2) ma con \(v=0\), ossia \(I(x)=Mx\). Questo semplifica un po' la vita perché una isometria in questo senso "ristretto" è sempre lineare, conserva la norma, e conserva il prodotto scalare. Queste ultime due proprietà sono addirittura equivalenti, nel senso che se una applicazione lineare \(F\) conserva la norma allora conserva pure il prodotto scalare, perché
\[
\begin{split}
\langle F(x), F(y)\rangle&= \frac{1}{4}\left( \lVert F(x+y)\rVert^2-\lVert F(x-y)\rVert^2\right) \\
&=\frac{1}{4}\left( \lVert x+y\rVert^2-\lVert x-y\rVert^2\right)\\
&=\langle x, y\rangle.
\end{split}
\]
Questo conto, in particolare, risponde alla tua domanda: se si sa già che una applicazione è lineare, per mostrare che essa conserva il prodotto scalare è sufficiente mostrare che conserva la norma.

[jitter1]

Ehi, grazie dissonance, chiaro ed esauriente come sempre
Mi pare di aver capito. Non tutte le isometrie sono applicazioni lineari, ma se lo sono possiamo utilizzare il fatto che la "conservazione" della norma e quella del prodotto scalare sono proprietà equivalenti...

[dissonance]

Esatto.