Perchè un vettore appartiene/non appartiene all'immagine di f?
Sia f : R3 → R4 l’applicazione lineare tale che f((x, y, z)) = (x − y, x + 2z, 2x − y + 2z, −x + y).
(i) Determinare una base di Ker f e una base di Im f.
(ii) Dire se f `e iniettiva o suriettiva.
(iii) Il vettore (1, 0, −1, 1) appartiene a Im f? Perchè?
(i) B(ker f) = {(-2,-2,1)}
B(Im f) = {(1,1,2,-1),(-1,0,-1,1)}
(ii) f non è né iniettiva né suriettiva
quindi (iii) (1,0,-1,1) non appartiene all'Im f ma...perchè?
Va bene dire che il vettone non appartiene perchè non è un vettore linearmente indipendente appartentente a f?
Grazie in anticipo!
Risposte
i) è corretto.
ii) è corretto
iii)
Se un vettore $v in Im(f)$, allora si ha che esso è esprimibile come combinazione lineare dei vettori che generano l'immagine.
Ossia, esistono dei coefficienti $a$, $b$, tali per cui il sistema formato da $ ((1),(0),(-1),(1))=a((1),(1),(2),(-1)) + b((-1),(0),(-1),(1)) $ sia compatibile.
Altrimenti, il vettore non sta nell'immagine.
Provando a risolverlo, noterai che è impossibile. Quindi il vettore non appartiene all'immagine.
ii) è corretto
iii)
Se un vettore $v in Im(f)$, allora si ha che esso è esprimibile come combinazione lineare dei vettori che generano l'immagine.
Ossia, esistono dei coefficienti $a$, $b$, tali per cui il sistema formato da $ ((1),(0),(-1),(1))=a((1),(1),(2),(-1)) + b((-1),(0),(-1),(1)) $ sia compatibile.
Altrimenti, il vettore non sta nell'immagine.
Provando a risolverlo, noterai che è impossibile. Quindi il vettore non appartiene all'immagine.
Scusa se rispondo solo ora.
Sei stato chiarissimo come sempre, grazie mille!
Sei stato chiarissimo come sempre, grazie mille!
Nessun problema 
notte
notte
Chiedo scusa se mi intrometto, ma volevo capire come risolvere i primi due punti dell'esercizio. Ecco come procedo io:
(i)
mi ricavo l'immagine di f rispetto la base canonica di $R^3$ per poi esprimere i vettori trovati rispetto la canonica di $R^4$; incolonno poi i vettori, ottenendo:
$A = | ( 1 , -1 , 0 ),( 1 , 0 , 2 ),( 2 , -1 , 2 ),( -1 , 0 , 0 ) | $
ma riducendola a scala mi vengono tre pivot, quindi tutti e tre i vettori costituenti la matrice A formano una base dell'immagine e di conseguenza ho ker nullo.
(ii)
Data $f:V rarr W$ abbiamo che $dim V = 3 < dim W=4$, per cui l'applicazione non può essere suriettiva, ma ciò contrasta con il fatto che, essendo la matrice A di rango massimo, il determinante sarà non nullo e quindi l'applicazione biiettiva.
L'iniettività poi sopraggiunge perchè $rg f = dim V$.
Aiuto
(i)
mi ricavo l'immagine di f rispetto la base canonica di $R^3$ per poi esprimere i vettori trovati rispetto la canonica di $R^4$; incolonno poi i vettori, ottenendo:
$A = | ( 1 , -1 , 0 ),( 1 , 0 , 2 ),( 2 , -1 , 2 ),( -1 , 0 , 0 ) | $
ma riducendola a scala mi vengono tre pivot, quindi tutti e tre i vettori costituenti la matrice A formano una base dell'immagine e di conseguenza ho ker nullo.
(ii)
Data $f:V rarr W$ abbiamo che $dim V = 3 < dim W=4$, per cui l'applicazione non può essere suriettiva, ma ciò contrasta con il fatto che, essendo la matrice A di rango massimo, il determinante sarà non nullo e quindi l'applicazione biiettiva.
L'iniettività poi sopraggiunge perchè $rg f = dim V$.
Aiuto
ciao,
i)
innanzitutto nella matrice da te scritta la seconda colonna è sbagliata: è $((-1),(0),(-1),(1))$.
$rkA=2$. Controlla pure.
Ad ogni modo, avresti potuto anche trovare il $ker(f)$, e, notando che non è banale [quindi non è innettiva], bensì è $((-2),(-2),(1))$, e applicando il teorema "nullità più rango" concludere che $dim(Im(f)) = 3-1=2$.
ii) La fai lunga: tale applicazione non è iniettiva [$ker(f)$ non banale] nè suriettiva [$Im(f)$ non coincide con lo spazio di arrivo].
La motivazione dell'iniettività che hai dato non so da dove ti sia saltata fuori
Ti invito a cercare esercizi svolti qui e soprattutto studiare sul testo o sugli appunti le definizioni e le proprietà del $ker$ e $Im$.
i)
innanzitutto nella matrice da te scritta la seconda colonna è sbagliata: è $((-1),(0),(-1),(1))$.
$rkA=2$. Controlla pure.
Ad ogni modo, avresti potuto anche trovare il $ker(f)$, e, notando che non è banale [quindi non è innettiva], bensì è $((-2),(-2),(1))$, e applicando il teorema "nullità più rango" concludere che $dim(Im(f)) = 3-1=2$.
ii) La fai lunga: tale applicazione non è iniettiva [$ker(f)$ non banale] nè suriettiva [$Im(f)$ non coincide con lo spazio di arrivo].
La motivazione dell'iniettività che hai dato non so da dove ti sia saltata fuori
Ti invito a cercare esercizi svolti qui e soprattutto studiare sul testo o sugli appunti le definizioni e le proprietà del $ker$ e $Im$.
chiaro ?
Certamente, era un'errore di distrazione sulla seconda colonna! Chiaro che poi si rifletteva a cascata sul secondo punto 
Ti ringrazio tanto!
Ti ringrazio tanto!
Nessun problema
notte
notte
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo