Perchè un vettore appartiene/non appartiene all'immagine di f?

Serus
Sia f : R3 → R4 l’applicazione lineare tale che f((x, y, z)) = (x − y, x + 2z, 2x − y + 2z, −x + y).
(i) Determinare una base di Ker f e una base di Im f.
(ii) Dire se f `e iniettiva o suriettiva.
(iii) Il vettore (1, 0, −1, 1) appartiene a Im f? Perchè?


(i) B(ker f) = {(-2,-2,1)}
B(Im f) = {(1,1,2,-1),(-1,0,-1,1)}

(ii) f non è né iniettiva né suriettiva

quindi (iii) (1,0,-1,1) non appartiene all'Im f ma...perchè?
Va bene dire che il vettone non appartiene perchè non è un vettore linearmente indipendente appartentente a f?


Grazie in anticipo!

Risposte
feddy
i) è corretto.

ii) è corretto

iii)
Se un vettore $v in Im(f)$, allora si ha che esso è esprimibile come combinazione lineare dei vettori che generano l'immagine.
Ossia, esistono dei coefficienti $a$, $b$, tali per cui il sistema formato da $ ((1),(0),(-1),(1))=a((1),(1),(2),(-1)) + b((-1),(0),(-1),(1)) $ sia compatibile.

Altrimenti, il vettore non sta nell'immagine.

Provando a risolverlo, noterai che è impossibile. Quindi il vettore non appartiene all'immagine.

Serus
Scusa se rispondo solo ora.
Sei stato chiarissimo come sempre, grazie mille!

feddy
Nessun problema ;) notte

enrico.bellemo
Chiedo scusa se mi intrometto, ma volevo capire come risolvere i primi due punti dell'esercizio. Ecco come procedo io:

(i)

mi ricavo l'immagine di f rispetto la base canonica di $R^3$ per poi esprimere i vettori trovati rispetto la canonica di $R^4$; incolonno poi i vettori, ottenendo:

$A = | ( 1 , -1 , 0 ),( 1 , 0 , 2 ),( 2 , -1 , 2 ),( -1 , 0 , 0 ) | $

ma riducendola a scala mi vengono tre pivot, quindi tutti e tre i vettori costituenti la matrice A formano una base dell'immagine e di conseguenza ho ker nullo.

(ii)

Data $f:V rarr W$ abbiamo che $dim V = 3 < dim W=4$, per cui l'applicazione non può essere suriettiva, ma ciò contrasta con il fatto che, essendo la matrice A di rango massimo, il determinante sarà non nullo e quindi l'applicazione biiettiva.

L'iniettività poi sopraggiunge perchè $rg f = dim V$.

Aiuto :oops:

feddy
ciao,

i)

innanzitutto nella matrice da te scritta la seconda colonna è sbagliata: è $((-1),(0),(-1),(1))$.
$rkA=2$. Controlla pure.

Ad ogni modo, avresti potuto anche trovare il $ker(f)$, e, notando che non è banale [quindi non è innettiva], bensì è $((-2),(-2),(1))$, e applicando il teorema "nullità più rango" concludere che $dim(Im(f)) = 3-1=2$.


ii) La fai lunga: tale applicazione non è iniettiva [$ker(f)$ non banale] nè suriettiva [$Im(f)$ non coincide con lo spazio di arrivo].

La motivazione dell'iniettività che hai dato non so da dove ti sia saltata fuori :)

Ti invito a cercare esercizi svolti qui e soprattutto studiare sul testo o sugli appunti le definizioni e le proprietà del $ker$ e $Im$.

feddy
chiaro ? ;)

enrico.bellemo
Certamente, era un'errore di distrazione sulla seconda colonna! Chiaro che poi si rifletteva a cascata sul secondo punto :lol:

Ti ringrazio tanto! :smt023

feddy
Nessun problema :)
notte

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