Perché posso risolvere sistemi con più incognite rispetto alle equazioni a disposizione?

[Lucifero1]

Ciao a tutti, questa è la prima volta che utilizzo un forum in vita mia e spero di non fare casini .

La mia domanda è un po' di natura "filosofica":
Come mai se per esempio prendo un sistema di 4 equazioni e 5 incognite posso risolverlo?
La domanda mi è sorta svolgendo un problema di fisica, ma la domanda è di natura matematica, perché mi sono ritrovato che alla fine l'ho risolto, ma mi sono ricordato che mi era stato detto che un sistema per essere risolto deve avere almeno lo stesso numero di equazioni e incognite o più equazioni di incognite. Però molto spesso mi capita di risolvere equazioni che hanno più incognite di equazioni e trovare il risultato.
Le conclusioni sono 2:
1) Senza accorgermene ho aggiunto un equazione nei passaggi che non ho contato.
2) Il professore ( molti anni fa ) mi ha spudoratamente mentito ed in effetti si possono risolvere.

So che è un po' stupida come domanda, ma più che altro cerco una spiegazione a parole.
Se volete posso postare il sistema se richiesto.

Spero di aver scritto nel posto giusto

[ObiWan1]

Provo a rispondere io, un sistema di n equazioni in n+1 incognite non è risolvibile, ma se tu fai finta che una incognita ad esempio Y in realtà non è un incognita allora hai n equazioni in n incognite che può essere compatibile, però tu hai risolto soltanto un caso particolare cioè quello in cui ad esempio Y=5, ma tu non puoi sapere che valore ha Y perché il sistema ha n+1 incognite, allora attribuisci a Y un valore arbitrario "t" quindi hai che qualunque valore abbia Y tu puoi sapere se il sistema è compatibile, in realtà tu non hai una soluzione del sistema tu hai un infinito a 1 che ti dice lo spazio dove si trova la soluzione in questo modo hai aggirato il problema.

Ho provato a dare una risposta alla tua domanda seguendo un mio ragionamento, non so dirti se è esattamente vero quello che ho scritto, ma forse può darti una mano.

[Epimenide93]

"Lucifero":
Le conclusioni sono 2:
1) Senza accorgermene ho aggiunto un equazione nei passaggi che non ho contato.
2) Il professore ( molti anni fa ) mi ha spudoratamente mentito ed in effetti si possono risolvere.

La 3

"Risolvere" può essere un termine ambiguo, diciamo che il suo significato dipende da chi lo pronuncia

Ambiguità a parte: un sistema di $n$ equazioni in $n$ incognite[nota]ovviamente sto sottintendendo che le $n$ equazioni siano linearmente indipendenti[/nota] ammette una soluzione unica. Un sistema di $n$ equazioni[nota]vedi nota $1$[/nota] in $m$ incognite, con $m > n$ ammette infinite soluzioni, che dipendono da $m-n$ parametri. That's all