Per quali valori il vettore appartiene a v?
Buonasera, ho un dubbio su questo esercizio:
In R^4 sono dati i seguenti vettori
u1=(1,-1,0,1), u2=(2,1,1,0), u3=(3,0,1,1), u4=(0,1,-1,0)
1)Trovare una base e la dimensione del sottospazio di V di R^4 generato dai vettori u1,u2,u3,u4.
2)Per quali valori di t il vettore v=(1,-1,2t-8,t+1).
3)Per i valori di t trovati, determinare le componenti di v rispetto alla base di V.
Allora nel primo quesito non ho avuto problemi, ho trovato la base (u1,u2,u4) e la dimensione che è 3.
Il mio problema è sul secondo, ho provato a mettere il vettore v nella matrice formata dai 4 vettori e tramite il metodo a gradini calcolare il determinante che però è uguale a 0. Quindi come dovrei agire?
Per il terzo non pensò di avere problemi.
Grazie mille in anticipo.
In R^4 sono dati i seguenti vettori
u1=(1,-1,0,1), u2=(2,1,1,0), u3=(3,0,1,1), u4=(0,1,-1,0)
1)Trovare una base e la dimensione del sottospazio di V di R^4 generato dai vettori u1,u2,u3,u4.
2)Per quali valori di t il vettore v=(1,-1,2t-8,t+1).
3)Per i valori di t trovati, determinare le componenti di v rispetto alla base di V.
Allora nel primo quesito non ho avuto problemi, ho trovato la base (u1,u2,u4) e la dimensione che è 3.
Il mio problema è sul secondo, ho provato a mettere il vettore v nella matrice formata dai 4 vettori e tramite il metodo a gradini calcolare il determinante che però è uguale a 0. Quindi come dovrei agire?
Per il terzo non pensò di avere problemi.
Grazie mille in anticipo.
Risposte
Ciao,
Hai trovato una base del sottospazio, ottimo. Ora puoi calcolarti le equazioni cartesiane dello stesso.
Quindi puoi vedere, sostituendo le componenti del vettore $vec(v)$ in quelle equazioni, per quale valore del parametro $t in mathbb(R) $ sono verificate.
Hai trovato una base del sottospazio, ottimo. Ora puoi calcolarti le equazioni cartesiane dello stesso.
Quindi puoi vedere, sostituendo le componenti del vettore $vec(v)$ in quelle equazioni, per quale valore del parametro $t in mathbb(R) $ sono verificate.
Quindi dovrei fare un sistema lineare con i componenti della base e usare come termini noti il vettore v?
"MauroM292":
Quindi dovrei fare un sistema lineare con i componenti della base e usare come termini noti il vettore v?
Esatto puoi fare anche così.
Io trovo più comodo determinare l'equazione cartesiana di $V$ partendo dalla sua base, poi sostituendo le varie componenti di $vec(v)$. Per poi trovare subito il valore del parametro $t$.
A me esce che il vettore $vec(v) in V$ per $t=2$
A me viene t=8, puoi farmi vedere come lo svolgi?
"MauroM292":
A me viene t=8, puoi farmi vedere come lo svolgi?
la tua base è formata dai vettori colonna $u_1$,$u_2$,$u_4$.
Compongo la matrice $A$, affiancando i vettori della base e aggiungendo una colonna con le componenti.
$A=( ( 1 , 2 , 0 ),( -1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , -1 ),( 1 , 0 , 0 ) :}|$ ${: ( x ),( y ),( z ),( k ) ) $
Ora riduco la matrice $A$ con Gauss, fino ad ottenere la seguente matrice:
$A'=( ( 1 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , -2 ) :}|$ ${: ( x ),( -x+y+z+2k ),( z ),( k-x+2z ) )$
la riga con entrate nulle ha sulla destra l'equazione cartesiana del sottospazio $V$.
Ovvero
$V={( ( x ),( y ),( z ),( k ) )in mathbb(R^4) | -x+y+z+2k=0} $
Sostituisco le componenti di $vec(v)$ in questa equazione e trovo $t$.
$-(1)+(-1)+(2t-8)+2(t+1)=0 \ \ \ rArr t=2$
altrimenti risolvi il seguente:
$( ( 1 ),( -1 ),( 2t-8 ),( t+1 ) ) =lambda \ ( ( 1 ),( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) +beta \ ( ( 2 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) +gamma \ ( ( 0 ),( 1 ),( -1 ),( 0 ) ) $
che dopo un po' di conti ti porta a $t=2$.
$( ( 1 ),( -1 ),( 2t-8 ),( t+1 ) ) =lambda \ ( ( 1 ),( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) +beta \ ( ( 2 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) +gamma \ ( ( 0 ),( 1 ),( -1 ),( 0 ) ) $
che dopo un po' di conti ti porta a $t=2$.
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