Per quali valori è uno spazio vettoriale?
Sia $kinR$. Per quali valori di $kin W$ è uno spazio vettoriale?
$W={(x,y,z) in R^3 t.c. \{(x+k^2y=0),(2x+y+z=0):}$
Deve essere contneuto il vettore nullo, e quello c'è. Poi, deve essere chiuso rispetto alla somma e alla moltiplicazione per uno scalare. Però mi blocco qui, perché non so come mostrare questo.
$W={(x,y,z) in R^3 t.c. \{(x+k^2y=0),(2x+y+z=0):}$
Deve essere contneuto il vettore nullo, e quello c'è. Poi, deve essere chiuso rispetto alla somma e alla moltiplicazione per uno scalare. Però mi blocco qui, perché non so come mostrare questo.
Risposte
Prendi due qualsiasi vettori di $W$ e vedi la somma se viene mantenuta per tutti i $k$ oppure no, oppure per qualcuno.
Ricorda però in generale, che le equazioni lineari omogenee identificano uno spazio vettoriale.
Ricorda però in generale, che le equazioni lineari omogenee identificano uno spazio vettoriale.
Quindi, qualunque valore do a $k$, ho sempre un'equazione lineare omogenea, quindi uno spazio vettoriale, giusto?
Ma allora, nell'esericizo 11 http://www.unifi.it/dipmaa/raffy/IME/ime7web.pdf visto che l'equazione non è lineare omogenea, $W$ non dovrebbe essere uno spazio vettoriale. Perché invece lo è?
La domanda 11 ammette come risposta quella: "Non è uno spazio vettoriale".
Eppure, se guardi la pagina 3, viene data come soluzione la 3, cioè "$dim W=2$"
Prova a fare tu allora due prove. Il vettore nullo appartiene allo spazio? E' chiuso rispetto alla somma?
Non so chi abbia risposto, ma sarà senz'altro una svista.
Non so chi abbia risposto, ma sarà senz'altro una svista.
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