Per quali valori di t il luogo è una retta

[Izzo2]

Nello spazio affine euclideo $E^3$; si consideri il luogo
${ ( tx-y+z-2=0 ),( 2x+y-z=0 ):} $.
Dire per quali valori di $t$ il luogo è una retta.
Penso che per esserlo, le due equazioni non debbano essere linearmente dipendenti. Quindi io presumo che siccome nella prima equazione c'è un $-2$ mentre nella seconda non è presente nemmeno un numero, questo è sempre verificato, però ho paura di sbagliarmi. E' così?

[donald_zeka]

Se hai paura di sbagliarti allora perché non risolvi quel sistema? Sarà una retta se ci sono $oo^1$ soluzioni

[Izzo2]

ho provato a risolverlo, mi esce così, ma non so cosa devo fare...
${ ( x=2/(t-2) ),( z=4/(t-2) + y ):}$

[donald_zeka]

La matrice aumentata del sistema è:

$((2,1,-1,0),(t,-1,1,2))$

Somma la prima riga con la seconda:

$((2,1,-1,0),(t+2,0,0,2))$

Pertanto se $t+2=0$, il sistema non ha soluzione, quindi il sistema ha soluzione solo per $t!=-2$, pertanto in questi casi il sistema ha $oo^1$ soluzioni, ossia una retta.

Un altro modo di vederlo è di considerare i vettori direttori del piani, che sono i coefficienti di $x$,$y$ e $z$, un piano è perpendicolare al suo vettore direzione, pertanto si intersecano in una retta se e solo se i vettori direzione non sono linearmente dipendenti.

[Izzo2]

Perfetto, grazie, dopo mi chiede di studiare la posizione reciproca tra due rette( questa per i valori di $t$ per cui è una retta e un'altra assegnata). Volevo sapere, devo studiare i casi per $t>-2$ e $t<-2$? Oppure scelgo un valore a caso diverso da $-2$?