Per quali valori di k la f è iniettiva ?

[Mynameis1]

Buonasera a tutti. In questo esercizio mi si chiede"per quali valori di $ k $ la applicazione lineare è iniettiva " ? . $ f :R^3rarr R^4 $ con $ f(e_1)=(1;k;k;1) $ $ f(e_2)=(0;k;k;1) $ e $ f(e_3)=(2;1;1;1) $ . Inizialmente mi veniva chiesto se esistessero dei valori per cui la $ f $ fosse suriettiva ed ho usato il teorema della dimensione per dimostrare che non esistono questi valori . Infatti se fosse suriettiva allora $ Imf=R^4 rArr dimIm f=dim R^4=4 $ ma per il teorema della dimensione $ dimR^3=dim kerf+dim Imf rArr 3=x+4 $ dove tre è il primo membro, $ x $ è la dimensione del nucleo che non conosco e 4 è la dimensione dell'immagine . Se fosse così allora la dimensione del nucleo , perché il t. della dim venga rispettato, dovrebbe essere $ -1 $ e poiché ciò è impossibile allora f non può mai essere suriettiva . Per il secondo punto , ovvero la richiesta dei valori di k per cui la applicazione sia iniettiva non so bene come procedere . Pensavo di ripartire dalle definizioni e dal teorema della dimensione : se $ f $ è iniettiva allora il suo kernel è fatto solo dallo zero di $ R^3 $ e pertanto la sua dimensione è 0 e , sempre per il teorema della dimensione , la dimensione dell'immagine dovrà essere 3 . Ora qui mi fermo perché non ho altre idee su come procedere , mi stavo un poco arrampicando sugli specchi cercando qualche combinazione lineare ma non sono venuto a capo di nulla. Faccio presente che non faccio riferimento ancora ad alcuna matrice associata per cui penso si possa risolvere senza far ricordo ad essa, considerando che , seppur abbia le basi canoniche disponibili ( ovviamente ) , non conosco le immagini di questi vettori che le compongono perché come avrete notato non mi è data la espressione matematica di $ f $ . Vi sarei grato se riusciste a darmi una mano , grazie

[Overflow94]

E' iniettiva per i valori di $ k $ che fanno si che $ f(e_1),f(e_2),f(e_3) $ siano vettori linearmente indipendenti su $ RR^4 $ . Infatti se sono linearmente indipendenti formano una base del sottospazio di R^4 che costituisce l'immagine di f, e quindi l'immagine di un vettore è determinata in modo univoco da una loro combinazione lineare, dalla linearità di f segue che due vettori non possono avere la stessa immagine.
$ f(lambda_1e_1+lambda_2e_2+lambda_3e_3)=lambda_1f(e_1)+lambda_2f(e_2)+lambda_3f(e_3)!=lambda'_1f(e_1)+lambda'_2f(e_2)+lambda'_3f(e_3)=f(lambda'_1e_1+lambda'_2e_2+lambda'_3e_3) $

Mentre se non sono linearmente indipendenti allora, per esempio, $ f(e_3)=lambda_1f(e_1)+lambda_2f(e_2)=f(lambda_1e_1+lambda_2e_2) $ quindi f non è iniettiva.

[Mynameis1]

Dunque grazie per avermi aiutato. Ho cercato di rielaborare quello che ho capito. Ti spiego come ho proceduto. Per il teorema della dimensione sappiamo che se $ f $ è iniettiva allora $ dim Im f=3 $ pertanto una base è formata da 3 vettori. Inoltre l'immagine della $ f $ si può esprimere come sottospazio generato dalle immagini date quindi $ Im f = $ . Queste immagini perché siano base non basta che siano Linear. Indip. ma devono essere anche un sistema di generatori per cui il generico vettore di $ Im f $ si deve potere scrivere come combinazione lineare dei vettori che noi ipotizziamo formino la base . Risparmiando i calcoli ( la combinazione lineare ) viene fuori che i vettori $ f(e_1) f(e_2)f(e_3) $ sono indipendenti per ogni $ k!= 1 $ . Poiché $ Im f= {(h;g;t;s)in R^4| (h;g;t;s)=f(a;b;c)} $ scritto in termini più generici possibili , la generica quadrupla scritta prima si deve poter esprimere ( sempre per quanto riportato sopra ) come combinazione lineare dei vettori di cui parlavamo prima ovvero le immagini , con scalari univocamente determinati ( per il teorema di caratterizzazione delle basi ) . Quindi $ (h;g;t;s)=alpha(1;k;k;1)+beta(0;k;k;1)+gamma(2;1;1;1) $ da cui viene fuori il sistema $ { ( h=alpha+2gamma ),( g=alphak+betak+gamma ),( t=alphak+betak+gamma ),( s=alpha+beta+gamma ):} $ da cui si vede che la seconda e la terza componente della quadrupla generica di $ Im f $ sono uguali per qualsiasi $ k $ appartenente ad $ R $ e diverso da $ -1 $ . Per cui da questo ho dedotto che la dimensione dell'immagine di $ f $ è 3 e che essa è iniettiva per ogni $ k $ reale diverso da $ -1 $ . Mi scuso se ho fatto confusione ma ho cercato di fare più ordine possibile cercando passo passo di mostrare come ho ragionato. Cosa ne pensi ?

[Overflow94]

Come dici te la dimensione dell'immagine deve essere 3, quindi 3 vettori sono una base (e quindi anche un sistema di generatori dello spazio) se e solo se sono linearmente indipendenti. Magari aspetta il parere di qualcuno più preparato di me, ma sono abbastanza convinto che sia questa l'unica condizione da verificare.