Per quali valori di k i vettori risultano lin. dip.??
Sia dato uno spazio vettoriale $V$ di dimensione 4, una cui base è $B_V = (v_1, v_2, v_3, v_4)$
Determinare per quale valore del parametro k i seguenti vettori risultino linearmente dipendenti:
$w_1 = (1, 0, -1, 2) $
$w_2 = (2, -1, 1, 2) $
$w_3 = (-1, 2, k, k+7) $
Che ho fatto?
Ho fatto lo span di quei tre vettori e ho riscritto la matrice dei loro coefficienti:
$((1,2,-1),(0,-1,2),(-1,1,k),(2,2,k+7))$
..e ho ridotto a scala nel modo seguente:
$((1,2,1),(0,-1,2),(0,0,k+5),(0,0,k+5))$
Ora cosa devo impostare??.. Che il rango di questa matrice sia $<$ di..?
Il mio dilemma è tra imporlo minore del numero dei vettori (quindi $<3$) oppure minore della dimensione in cui sono individuati i tre vettori (quindi $<4$)..
Che mi dite??
Determinare per quale valore del parametro k i seguenti vettori risultino linearmente dipendenti:
$w_1 = (1, 0, -1, 2) $
$w_2 = (2, -1, 1, 2) $
$w_3 = (-1, 2, k, k+7) $
Che ho fatto?
Ho fatto lo span di quei tre vettori e ho riscritto la matrice dei loro coefficienti:
$((1,2,-1),(0,-1,2),(-1,1,k),(2,2,k+7))$
..e ho ridotto a scala nel modo seguente:
$((1,2,1),(0,-1,2),(0,0,k+5),(0,0,k+5))$
Ora cosa devo impostare??.. Che il rango di questa matrice sia $<$ di..?
Il mio dilemma è tra imporlo minore del numero dei vettori (quindi $<3$) oppure minore della dimensione in cui sono individuati i tre vettori (quindi $<4$)..
Che mi dite??
Risposte
Il rango di quella matrice può essere al più 3, dato che è formata da 3 colonne e 4 righe
In generale , sia $A\inM_(m,n)$, allora $r(a)<=min{m,n}$
In generale , sia $A\inM_(m,n)$, allora $r(a)<=min{m,n}$
Ti ringrazio, ma questo non risponde alla mia domanda.. per impostare il rango della matrice < di "qualcosa", che devo tenere a mente per quel "qualcosa" ??
Ciao Vegetabbo, ti ricordi qual è la definizione di rango di una matrice?
Ce ne sono varie (naturalmente tutte equivalenti), io sto pensando ad una in particolare, la prima fra quelle citate da Wikipedia.it.
Prova a rifletterci un po' e dicci cosa ne pensi. Proveremo a darti una mano...
Ce ne sono varie (naturalmente tutte equivalenti), io sto pensando ad una in particolare, la prima fra quelle citate da Wikipedia.it.
Prova a rifletterci un po' e dicci cosa ne pensi. Proveremo a darti una mano...
In questo esempio particolare, k ti compare solo nell'ultima riga. Puoi concludere che l'ultima (o la penultima) riga è linearmente indipendente dalle altre solo per determinati valori di k, ancora più semplicemente si annulla per un determinato valore di k.
Cioè il rango della matrice sarà due o tre a seconda dei k... riesci a capire come procedere adesso?
Cioè il rango della matrice sarà due o tre a seconda dei k... riesci a capire come procedere adesso?
"cirasa":
Ciao Vegetabbo, ti ricordi qual è la definizione di rango di una matrice?
Ce ne sono varie (naturalmente tutte equivalenti), io sto pensando ad una in particolare, la prima fra quelle citate da Wikipedia.it.
Prova a rifletterci un po' e dicci cosa ne pensi. Proveremo a darti una mano...
Wiki recita:
Il massimo numero di colonne linearmente indipendenti
..per cui mi viene da pensare che porre, nel mio esempio, il rango minore di 4 non serve a nulla (poi non so se "significa" qualcosa..);
forse, dati 3 vettori, io devo imporre che il rango della matrice dei loro coefficienti sia minore del loro numero (quindi 3) in modo tale da renderli linearmente dipendenti.
Dico bene??
In questo caso va bene il tuo ragionamento, dato che se il rango vale 3, i vettori sono linearmente indipendenti.
Ma può capitare ad esempio di avere 3 vettori di $R^2$, quindi verrebbe una matrice 3x2 e il rango non può valere 3.
Ma può capitare ad esempio di avere 3 vettori di $R^2$, quindi verrebbe una matrice 3x2 e il rango non può valere 3.
"Alxxx28":
In questo caso va bene il tuo ragionamento, dato che se il rango vale 3, i vettori sono linearmente indipendenti.
Ma può capitare ad esempio di avere 3 vettori di $R^2$, quindi verrebbe una matrice 3x2 e il rango non può valere 3.
Ed è proprio quello che mi sto chiedendo da giorni!!
Se ho un numero di vettori maggiore di quelle che sono le dimensioni dello spazio vettoriale... che ne concludo??
$((a,b,c,d),(a_1,b_1,c_1,d_1),(a_2,b_2,c_2,d_2),(a_3,b_3,c_3,d_3),(a_4,b_4,c_4,d_4))$
Che ne concludo??..
ps: FORSE, che sono sempre linearmente dipendenti??.. oppure no?
Basta fare riferimento a ciò che ho detto prima:
Questo deriva dal fatto che - se non lo sai già - il rango per righe coincide con il rango per colonne.
Piccolo esempio:
Supponi di avere una matrice 3x2, quindi formata da 3 righe e 2 colonne.
Il max numero di colonne linearmente indipendenti è banalmente 2, è assurdo dire che il num. di colonne
linearmente indipendenti è maggiore di 2. Questo implica che anche il max num. di righe linearmente indipendenti
è uguale a 2.
Spero che sia chiaro il ragionamento
"Alxxx28":
In generale , sia $A\inM_(m,n)$, allora $r(a)<=min{m,n}$
Questo deriva dal fatto che - se non lo sai già - il rango per righe coincide con il rango per colonne.
Piccolo esempio:
Supponi di avere una matrice 3x2, quindi formata da 3 righe e 2 colonne.
Il max numero di colonne linearmente indipendenti è banalmente 2, è assurdo dire che il num. di colonne
linearmente indipendenti è maggiore di 2. Questo implica che anche il max num. di righe linearmente indipendenti
è uguale a 2.
Spero che sia chiaro il ragionamento
non ho capito cosa dovrei concluderne.. 
Ho una matrice che ha più righe che colonne.. con gauss-jordan non riuscirò mai (salvo casi ad-hoc) a ridurla a scala.. nel caso in cui non riuscissi a ridurla a scala, che ne deduco??
Ho una matrice che ha più righe che colonne.. con gauss-jordan non riuscirò mai (salvo casi ad-hoc) a ridurla a scala.. nel caso in cui non riuscissi a ridurla a scala, che ne deduco??
Spiegati meglio, cosa ti serve sapere?
Boh.. non so più nemmeno io quello che volevo chiedere.. 'sta materia mi sta uccidendo..
la questione precisa è:
- Se io devo verificare la lineare dipendenza/indipendenza di 2 vettori in uno spazio vettoriale a 4 dimensioni, DEVE essere che il
rango della matrice $4x2$ mi deve venire 2 (e quindi sono lin. indip.) oppure 1 (lin. dipend.)..
Ma può darsi benissimo che la matrice non mi venga a scala!!... ma venga, ad esempio, così:
$((1,a),(0,b),(0,c),(0,d))$
Che ne deduco???
Che i due vettori sono...??? :/
la questione precisa è:
- Se io devo verificare la lineare dipendenza/indipendenza di 2 vettori in uno spazio vettoriale a 4 dimensioni, DEVE essere che il
rango della matrice $4x2$ mi deve venire 2 (e quindi sono lin. indip.) oppure 1 (lin. dipend.)..
Ma può darsi benissimo che la matrice non mi venga a scala!!... ma venga, ad esempio, così:
$((1,a),(0,b),(0,c),(0,d))$
Che ne deduco???
Che i due vettori sono...??? :/
"Alxxx28":
Il rango di quella matrice può essere al più 3, dato che è formata da 3 colonne e 4 righe
In generale , sia $A\inM_(m,n)$, allora $r(a)<=min{m,n}$
Quindi il rango, affinché siano dipendenti, deve essere 2?
Vegetabbo la matrice che hai scritto è riducibile a scala in certe condizioni, secondo me non hai proprio chiari i concetti basilari quali ad esempio la procedura di riduzione a scala, dipendenza lineare ecc.: ti consiglierei un bel ripasso approfondito, vedrai che dopo questo problema ti risulterà chiaro 
@Davvi: Lo so che quella matrice è riducibile a scala "in certe condizioni".. mi chiedevo se lo fosse sempre o meno... Inoltre consigli quali "ripassa che dopo è tutto chiaro" non so quanto siano utili. (se vengo qui FORSE è perché sul mio libro non ho capito).
Allora se non hai capito qualche concetto basilare partiamo da questi dubbi prima di risolvere l'esercizio.
Ad esempio sui concetti di lineare dipendenza e indipendenza c'è qualcosa che non ti è chiaro?
Ad esempio sui concetti di lineare dipendenza e indipendenza c'è qualcosa che non ti è chiaro?
"Vegetabbo":
@Davvi: Lo so che quella matrice è riducibile a scala "in certe condizioni"..
La mia frase che ho scritto e che hai quotato è infelice nonché errata, adesso mi spiego meglio dato che avevo risposto di fretta. Una matrice è riducibile a scala sempre, solo che in certe condizioni (cioè per un certo valore dei parametri) varia il rango della matrice.
Quando scrivi:
"Vegetabbo":
Ma può darsi benissimo che la matrice non mi venga a scala!!... ma venga, ad esempio, così:
$((1,a),(0,b),(0,c),(0,d))$
Perché quella matrice non dovrebbe venire a scala? Prova a scrivere la definizione di matrice a scala che ci ragioniamo
Io so che è mooooolto difficile capire (e farsi capire) su un forum (cioè: se foste stati allo stesso tavolo mio mi avreste già spiegato tutto) ma proverò a essere il più chiaro possibile.
Io so le definizioni e le applicazioni della lineare dipendenza e della lineare indipendenza..
La mia UNICA domanda è la seguente:
Se io devo studiare la dipendenza (o indipendenza) lineare di un numero $n$ di vottori che hanno $m$ coefficienti con $n < m$ posso dedurne qualcosa "a priori" ?? (ovvero prima di mettermi a ridurre a scala?)
esempio: studiare la dipendenza lineare dei seguenti vettori:
$v_1 = (1,2,3,4)$
$v_2 = (3,2,-1,5)$
Io so che devo impostare la matrice dei loro coefficienti, quindi una cosa del genere:
$((1,3),(2,2),(-1,3),(5,4))$
Procedendo nella riduzione a scala che ottengo?
$((1,3),(0,-4),(0,-10),(0,-7))$
Ora continuo??.. azzero la terza e la quarta riga così?.. senza tanti pensieri??
$((1,3),(0,-4))$
Che ne concludo??...
Che i due vettori iniziali sono???
(io direi linearmente indipendenti, ma come dovrei "interpretare" da un punto di vista geometrico il fatto che me ne sono letteralmente "fregato" dei coefficienti della terza e della quarta riga???
Io so le definizioni e le applicazioni della lineare dipendenza e della lineare indipendenza..
La mia UNICA domanda è la seguente:
Se io devo studiare la dipendenza (o indipendenza) lineare di un numero $n$ di vottori che hanno $m$ coefficienti con $n < m$ posso dedurne qualcosa "a priori" ?? (ovvero prima di mettermi a ridurre a scala?)
esempio: studiare la dipendenza lineare dei seguenti vettori:
$v_1 = (1,2,3,4)$
$v_2 = (3,2,-1,5)$
Io so che devo impostare la matrice dei loro coefficienti, quindi una cosa del genere:
$((1,3),(2,2),(-1,3),(5,4))$
Procedendo nella riduzione a scala che ottengo?
$((1,3),(0,-4),(0,-10),(0,-7))$
Ora continuo??.. azzero la terza e la quarta riga così?.. senza tanti pensieri??
$((1,3),(0,-4))$
Che ne concludo??...
Che i due vettori iniziali sono???
(io direi linearmente indipendenti, ma come dovrei "interpretare" da un punto di vista geometrico il fatto che me ne sono letteralmente "fregato" dei coefficienti della terza e della quarta riga???
"Vegetabbo":
La mia UNICA domanda è la seguente:
Se io devo studiare la dipendenza (o indipendenza) lineare di un numero $n$ di vottori che hanno $m$ coefficienti con $n < m$ posso dedurne qualcosa "a priori" ?? (ovvero prima di mettermi a ridurre a scala?)
No, non puoi dire nulla, devi quindi studiare la matrice e ridurla a scala per capire quanti di loro sono linearmente indipendenti.
Invece nel caso dei due vettori che hai scritto, potevi subito dire che erano linearmente indipendenti in quanto non sono proporzionali
@vegetabbo:
In certi casi però, per ricavare il rango della matrice conviene applicare il principio dei minori orlati,
dato che in questo modo si riduce il numero di calcoli da effetture.
In certi casi però, per ricavare il rango della matrice conviene applicare il principio dei minori orlati,
dato che in questo modo si riduce il numero di calcoli da effetture.
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