Per quali valori del parametro a il sistema ha (infinito)^1

[m911]

$ { ( ax + y - 2az = 1 ),( { - y + az = a ),( ax + z = a+1 ):} $

la matrice associata => $ ( ( a , 1 , -2a , 1 ),( 0 , -1 , a , a ),( a , 0 , 1 , a+1 ) ) $

per il teorema di Kronecker:
prendiamo una sotto matricie di ordine 2 e ci assicuriamo che abbiamo det $ != 0 $

$ ( ( a , 1 ),( 0 , -1 ) ) $ a $ != 0 $

orliamo la matrice in tutti i modi possibili ed imponiamo che il det=0


$ ( ( a , 1 , -2a ),( 0 , -1 , a ),( a , 0 , 1 ) ) $ $ a=-1, a=0 $


$ ( ( a , 1 , 1 ),( 0 , -1 , a ),( a , 0 , a+1 ) ) $ $ AA a det =0 $

da qui deduco che la x non avere rango 3 la matrice deve assumere valori $ a=-1 e a=0 $
ma per avere rango 2 a=!0

quindi per avere rango 2 $ a=-1. $
qualcuno mi dice se ho fatto bene? grazie.

[_prime_number]

Quando copierai bene le formule (tra l'altro hai ben 66 messaggi a carico, è inammissibile che tu non sappia ancora fare) qualcuno di sicuro di guarderà, io in primis

Paola

[m911]

ho provveduto a a scrivere le formule

[_prime_number]

Ciao... Io non credo sia giusto partire dal minore di ordine 2 perché chi ti dice che non scegliendone un altro tu non ottenga una diversa condizione sul parametro $a$? Sarei partita da un minore di ordine 2 solo se ne avessi trovato uno che non coinvolgeva $a$ (in quel caso avrei potuto dire qualcosa di certo, capisci?).
Essendo la matrice incompleta quadrata, partiamo calcolandone il determinante: $detA =-a(a+1)$.

caso 1:$a\ne 0, -1$
Concludiamo subito che $rank A = 3 = rank A|b$ (indico così la matrice completa) e inoltre $3$ è il numero delle incognite, quindi sistema determinato (trovare soluzione eventualmente con Cramer).

caso 2 $a=0$
Già sappiamo che $rank A < 3$. La matrice completa risulta essere
[tex]\left(\begin{array}{ccc|c}
0&1&0&1\\
0&-1&0&0\\
0&0&1&1
\end{array}\right)[/tex]
Usando il minore $|(-1,0),(0,1)|\ne 0$ concludiamo che $rank A=2$. Orlandolo per vedere $rank A|b$ vediamo che $rank A|b =3$ quindi sistema impossibile.

caso 3 $a=-1$
Sappiamo $rank A<3$.
Matrice completa:
[tex]\left(\begin{array}{ccc|c}
-1&1&2&1\\
0&-1&-1&-1\\
-1&0&1&0
\end{array}\right)[/tex]
Idem come sopra vediamo che $rank A =2$ con $|(0,-1),(-1,0)|$. Orliamolo $|(-1,1,1),(0,-1,-1),(-1,0,0)|=0$ quindi $rank A|b =2$ quindi sistema indeterminato con $\infty^1$ soluzioni.

Paola