Per quali delle seguenti condizioni V è un sottospazio vettoriale?
Domanda di un test teorico che non riesco proprio a capire:
Per quale delle seguenti condizioni V è un sottospazio vettoriale di $ R_(<=3) [x] $
$ V={p(x)in R_(<=3) [x]:} $ :
1) $ 2p(2)p(-1)=0 $
2) $ p(x+2)=x $
3) $ p(2)+p(-3)=0 $
4) $ p(x-1)+p(2x)=-1 $
5) $ 3p(2x-1)*p(x+3)=0 $
Io ho provato ad applicare le proprietà di uno spazio vettoriale cioè l'essere chiuso per linearità:
$ alpha v_1+betav_2 in V $
Ma non riesco a venirne a capo. Grazie
p.s Ho l'esame domani, aiuto!!
Per quale delle seguenti condizioni V è un sottospazio vettoriale di $ R_(<=3) [x] $
$ V={p(x)in R_(<=3) [x]:} $ :
1) $ 2p(2)p(-1)=0 $
2) $ p(x+2)=x $
3) $ p(2)+p(-3)=0 $
4) $ p(x-1)+p(2x)=-1 $
5) $ 3p(2x-1)*p(x+3)=0 $
Io ho provato ad applicare le proprietà di uno spazio vettoriale cioè l'essere chiuso per linearità:
$ alpha v_1+betav_2 in V $
Ma non riesco a venirne a capo. Grazie
p.s Ho l'esame domani, aiuto!!
Risposte
Provo a risponderti!
Dalla chiusura lineare, risulta ovvio che se un sottoinsieme di uno spazio vettoriale è un sottospazio allora contiene l'elemento nutro di $RR_(<=3)[x]$, e l'opposto di ogni suo elemento.
Ora tenendo conto che $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ possiamo dire che
-Per il primo punto, $p$ verifica la condizione richiesta se ha per zero $-1$ o $-2$ o è il polinomio nullo. Escluso il caso banale, sì ha $p=(x+1)(ax^2+bx+c)$ o $p=(x-2)(a'x^2+b'x+c')$
Se $p$ fosse solo del primo tipo o solo del secondo $V$ sarebbe uno spazio vettoriale. Ma un controesempio mostra che non vale la linearità in generale. Siano $p(x)=x-2$ e $q(x)=x+1$, entrambi appartengono $V$ ma non la loro somma $(p+q)(x)=2x-1$. Ora la conclusione dovrebbe che V non è un sottospazio.
-Per il secondo si verifica subito che $V$ dovrebbe essere un Singleton: risolvendo
$a(x+2)^3+b(x+2)^2+c(x+2)+d=x$ si hanno le condizioni
$a=0$
$2a+b=0$,
$4a+2b+c=1$,
$8a+4b+2c+d=0$
da cui $a=0$, $b=0$, $c=1$ e $d=-2$. Per cui $p(x)=x-2$ verifica la condizione ma non rispetta le proprietà di linearità!
-Per il terzo, deve essere $8a+4b+2c+d-27a+9b-3c+d=0$
$-19a+13b-c+2d=0$
$c=-19a+13b+2d$
Verifichiamo subito che il polinomio nullo soddisfa questa condizione per cui $V$ è diverso dal vuoto. Presi due polinomi nella forma
$p(x)=ax^3+bx^2+(-19a+13b+2d)x+d$
$q(x)=a'x^3+b'x^2+(-19a'+13b'+2d')x+d'=0$
Verifichi subito che $p+q$ e $\lambda*p$ sono elementi di $V$, per cui questo è un sottospazio di $V$ ( e dovrebbe avere dimensione 3)
-per il quarto, si vede subito che il polinomio nullo non soddisfa la condizione richiesta e $V$ non può essere un sottospazio
-per il quinto punto si deve avere $p(x+3)=0$ o $p(2x-1)=0$ per ogni valore di $x$. Partendo con la prima condizione
$p(x+3)=a(x+3)^3+b(x+3)^2+c(x+3)+d$ è nullo se e solo se
$a=0$
$9a+b=0$
$3a+6b+c=0$
$27a+9b+3c+d=0$
Cioè solo il polinomio nullo soddisfa questa condizione!
Lo stesso dovrebbe valere anche per l'altro caso, quindi $V={0}$
Dovrebbero essere sottospazi il 3° e il 5°, ma ho un dubbio sul 5° e ma butterei la risposta sul 3°. Aspetto che qualcun altro confermi!
Dalla chiusura lineare, risulta ovvio che se un sottoinsieme di uno spazio vettoriale è un sottospazio allora contiene l'elemento nutro di $RR_(<=3)[x]$, e l'opposto di ogni suo elemento.
Ora tenendo conto che $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ possiamo dire che
-Per il primo punto, $p$ verifica la condizione richiesta se ha per zero $-1$ o $-2$ o è il polinomio nullo. Escluso il caso banale, sì ha $p=(x+1)(ax^2+bx+c)$ o $p=(x-2)(a'x^2+b'x+c')$
Se $p$ fosse solo del primo tipo o solo del secondo $V$ sarebbe uno spazio vettoriale. Ma un controesempio mostra che non vale la linearità in generale. Siano $p(x)=x-2$ e $q(x)=x+1$, entrambi appartengono $V$ ma non la loro somma $(p+q)(x)=2x-1$. Ora la conclusione dovrebbe che V non è un sottospazio.
-Per il secondo si verifica subito che $V$ dovrebbe essere un Singleton: risolvendo
$a(x+2)^3+b(x+2)^2+c(x+2)+d=x$ si hanno le condizioni
$a=0$
$2a+b=0$,
$4a+2b+c=1$,
$8a+4b+2c+d=0$
da cui $a=0$, $b=0$, $c=1$ e $d=-2$. Per cui $p(x)=x-2$ verifica la condizione ma non rispetta le proprietà di linearità!
-Per il terzo, deve essere $8a+4b+2c+d-27a+9b-3c+d=0$
$-19a+13b-c+2d=0$
$c=-19a+13b+2d$
Verifichiamo subito che il polinomio nullo soddisfa questa condizione per cui $V$ è diverso dal vuoto. Presi due polinomi nella forma
$p(x)=ax^3+bx^2+(-19a+13b+2d)x+d$
$q(x)=a'x^3+b'x^2+(-19a'+13b'+2d')x+d'=0$
Verifichi subito che $p+q$ e $\lambda*p$ sono elementi di $V$, per cui questo è un sottospazio di $V$ ( e dovrebbe avere dimensione 3)
-per il quarto, si vede subito che il polinomio nullo non soddisfa la condizione richiesta e $V$ non può essere un sottospazio
-per il quinto punto si deve avere $p(x+3)=0$ o $p(2x-1)=0$ per ogni valore di $x$. Partendo con la prima condizione
$p(x+3)=a(x+3)^3+b(x+3)^2+c(x+3)+d$ è nullo se e solo se
$a=0$
$9a+b=0$
$3a+6b+c=0$
$27a+9b+3c+d=0$
Cioè solo il polinomio nullo soddisfa questa condizione!
Lo stesso dovrebbe valere anche per l'altro caso, quindi $V={0}$
Dovrebbero essere sottospazi il 3° e il 5°, ma ho un dubbio sul 5° e ma butterei la risposta sul 3°. Aspetto che qualcun altro confermi!
Quindi in pratica per poter risolvere questi quesiti mi basterà:
-evitare che ci siano moltiplicazioni tra p(x) già di grado "massimo" rispetto la consegna.
-Per gli altri svolgere i calcoli e vedere se sostituendo 0 ottengo 0
-sommare due elementi che appartengono e verificare che la somma appartenga.
Un ultima cosa tu come ultimo sottospazio hai riconosciuto un sottospazio di un solo elemento: 0. È possibile che esistano sottospazi di 1 elemento, non è un controsenso?
Grazie mille per il tuo tempo!
-evitare che ci siano moltiplicazioni tra p(x) già di grado "massimo" rispetto la consegna.
-Per gli altri svolgere i calcoli e vedere se sostituendo 0 ottengo 0
-sommare due elementi che appartengono e verificare che la somma appartenga.
Un ultima cosa tu come ultimo sottospazio hai riconosciuto un sottospazio di un solo elemento: 0. È possibile che esistano sottospazi di 1 elemento, non è un controsenso?
Grazie mille per il tuo tempo!
Per prima cosa devi sapere che non ho ancora maturato quella consapevolezza dell'argomento che mi permette di svolgere gli esercizi con sicurezza!
Ora il tuo caso 5° mi ha dato problemi ma l'unico polinomio tale che $p(ax+b)=0$ dovrebbe essere il polinomio nullo.
Per prima cosa conviene sempre vedere se il polinomio nullo appartiene al sottoinsieme e se per ogni $p$ di $V$ anche $-p$ è in $V$.
Appurato questo, si prosegue ad analizzare la chiusura lineare
Se ci fai caso se ho $V={v}$, non so se è rigoroso, $\lambdav$ deve essere un elemento per ogni $\lambda$ nel campo di riferimento. Ma se c'è solo $v$ l'unica soluzione è che $v=0$!
Allo stesso modo si potrebbe ragionare per la somma.
Dunque $V={x-2}$ non può essere un sottospazio
Ora il tuo caso 5° mi ha dato problemi ma l'unico polinomio tale che $p(ax+b)=0$ dovrebbe essere il polinomio nullo.
Per prima cosa conviene sempre vedere se il polinomio nullo appartiene al sottoinsieme e se per ogni $p$ di $V$ anche $-p$ è in $V$.
Appurato questo, si prosegue ad analizzare la chiusura lineare
Se ci fai caso se ho $V={v}$, non so se è rigoroso, $\lambdav$ deve essere un elemento per ogni $\lambda$ nel campo di riferimento. Ma se c'è solo $v$ l'unica soluzione è che $v=0$!
Allo stesso modo si potrebbe ragionare per la somma.
Dunque $V={x-2}$ non può essere un sottospazio
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