Passare dalla forma quadratica alla forma bilineare simmetrica

[Gio23121]

Sia ϕ : R3×R3 −→ R la forma bilineare simmetrica la cui forma quadratica associata è

Q(x) = $ x_1^2-1/2x_2^2+x_2x_3-1/2x_3^2 $

Trovare ϕ

Non so davvero da dove iniziare

[billyballo2123]

Ciao! Vuoi trovare la matrice che rappresenta la forma bilineare simmetrica? In questo caso i coefficienti $a_{ij}$ sono i coefficienti che moltiplicano $x_ix_j$ nella forma quadratica (inoltre quelli che non sono sulla diagonale vanno divisi per $2$). Ad esempio il coefficiente di $a_{11}$ è $1$, infatti il coefficiente di $x_1x_1=x^2$ è $1$. Inoltre $a_{22}=-\frac{1}{2}$, $a_{23}=a_{32}=\frac{1}{2}$, $a_{33}=-\frac{1}{2}$ e tutti gli altri sono zero. Quindi ottieni
\[
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}
\end{bmatrix}.
\]

[Gio23121]

Grazie mille,solo due cose, la mia dispensa dice che la forma bilineare simmetrica è
$ beta $ ( $ vecx,vecy $ )= 1/2 ( Q($vecx+vecy$) - Q($vecx$)- Q($vecy$) )
Quindi intende semplicemente la matrice?
I termini della matrice che non si trovano sulla diagonale principale,vanno lasciati cosi? o come nel caso delle coniche devo dividere per 2?

[billyballo2123]

Scusa mi sono sbagliato. I termini che non sono sulla diagonale vanno divisi per due! Correggo...

[Gio23121]

Va bene billy grazie mille ancora,ma quindi la forma bilineare simmetrica la lascio come matrice?
O devo scrivere qualcosa tipo xx'-(1/2)yy'-(1/2)zz'+(1/2)yz'+(1/2)zy' come quando per esempio mi da la forma bilineare simmetrica associata ad un prodotto scalare

[billyballo2123]

Per me le due cose sono equivalenti dato che si passa dall'una all'altra facendo
\[
\begin{bmatrix}
x' & y' & z'
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}.
\]