Passare da matrice a coordinate

[goblin303]

Salve a tutti. Ho un problema di algebra lineare che non riesco a risolvere.
"Sia f =: LA : R4 → R4, la funzione definita da LA(X) = AX ove
A =
1 0 0 1
0 1 −1 2
1 1 −1 3
−1 3 −3 5

1. Si dimostri che LA è una funzione lineare (o omomorfismo) e la si
esprima esplicitamente in coordinate."

Non riesco a risolvere la seconda parte dell'esercizio (quella di esprimere esplicitamente nelle coordinate),non so proprio da dove partire,spero possiate aiutarmi

[Pappappero1]

In generale, se hai una mappa lineare $L : V \to W$ con $V,W$ spazi vettoriali, per esprimerla in coordinate devi fissare due basi $v_1,...,v_n$ di $V$ e $w_1,...,w_m$ di $W$. L'espressione di $L$ in coordinate (rispetto alle basi scelte) e' una matrice $m\times n$ in cui l'entrata $i,j$ e' il coefficiente di $Lv_j$ nella direzione di $w_i$.

Se hai, come nel tuo caso, una mappa da $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^m$ che e' gia' in forma di una matrice, allora la matrice stessa e' la sua espressione in coordinate rispetto alla base canonica. Se cambi basi, le coordinate cambiano e per trovare la nuova matrice si devono risolvere un po' di sistemi lineari.

[goblin303]

Penso intenda ricavare le equazioni , tipo rappresentarla come f (x, y, z) --> f (x-y +2z ecc

[minomic]

Ciao,
se vuoi trovare le equazioni del sottospazio puoi provare a seguire quello che avevo scritto qui.

[goblin303]

Quindi mi devo comportare lo stesso modo di quando devo estrarre una cartesiana da un sistema di generatori?

[minomic]

Se vuoi le equazioni cartesiane del sottospazio, allora sì. Se invece si parla di coordinate rispetto a una base, allora devi seguire quanto diceva Pappappero.

[goblin303]

Io penso che l'esercizio voglia praticamente il processo inverso del "ricavare una matrice associata". Cioè mi spiego , noi di solito abbiamo f (x,y, z) --> (x -y, x+z, x-2y) ad esempio e ricaviamo la matrice associata da questa applicazione. Ma se ho gia la matrice associata come ritorno ad una applicazione di quel tipo?

[minomic]

Ok, allora se il problema è questo puoi seguire il procedimento che ti ho linkato prima. Aggiungi la colonna \(\begin{bmatrix}x & y & z & t\end{bmatrix}^T\) e imponi che sia linearmente dipendente dalle colonne della matrice.

[goblin303]

Va bene grazie! Provo subito e scrivo qui i risultati

[minomic]

Ok, a me risulta
\[
\begin{cases}
z-x-y=0 \\ t+x-3y=0
\end{cases}
\] Sempre se non ho fatto errori...

[goblin303]

Ok risulta pure a me,perchè il rango della matrice è due e devo imporre che quelle equazioni siano zero. Ora che le ho a disposizione però non mi trovo lo stesso perchè f(x,y,z,t)-->(x,y,x+y,3y-x) (ho posto come parametri x e y,z=x+y,t=3y-x) che se però inserisco i termini della base canonica non mi fanno riottenere la matrice associata. Funziona solo per le prime due colonne

[goblin303]

Oddio scusatemi ho capito,che stupido,era di una banalità assurda l'eserczio. Bastava moltiplicare (prodotto riga per colonna) la matrice A * la colonna (x,y,z,t). Quindi se la matrice è quella le coordinate saranno f(x,y,z,t)-->(x+t,y-z+2t,x+y-z+3t,-x+3y-3z+5). Che se facciamo un esempio e mettiamo la colonna della base canonica (dato che la matrice è associata secondo la base canonica ( f(1,0,0,0) --> (1,0,1,-1) che è la prima colonna della matrice e così via. Scusate il disturbo,potete chiudere. Grazie a minomic e a pereppero per l'aiuto