Passaggio ovvio sulla linearità?

[Gaal Dornick]

Mi sembra una cosa un po' banale da chiedersi..però non riesco a dimostrarlo. E sul Rudin (teorema di Banach, della mappa aperta) lo da per scontato.

dati $X,Y$ spazi di Banach, $Lambda:X to Y$ lineare limitato
Non riesco a fare questo passaggio:
so che $AAy in Y, ||y|| " la linearità di $Lambda$ mostra che, preso $delta=eta/(2k)$, vale il seguente:
$AAy in Y EE{x}_i_(i in NN), ||x_i||<1/delta||y|| t.c. Lambdax_i to y$
(Mi viene molto disordinata la formula non so perchè)

Non ricopio i miei conti perchè sono ovvi e non portano ad alcun risultato..

[gugo82]

Dico la mia, vedi se funziona.

Fissi $y\in Y$ e prendi $\alpha >1$.
Poni $z :=\eta/(\alpha ||y||) y$ in modo che $||z ||=\eta/\alpha <\eta$; per quanto hai trovato all'inizio in corrispondenza di $z$ determini $(\xi_n)$ con $||\xi_n||<2k$ in modo che:

$\Lambda \xi_n \to z \quad => \quad \Lambda ((\alpha ||y||)/\eta \xi_n ) \to y\quad$ (per com'è definito $z$ e la linearità di $\Lambda$).

Poni $x_n:=(\alpha ||y||)/\eta \xi_n$ ed hai:

$||x_n||=(\alpha ||y||)/\eta ||\xi_n||<\alpha (2k)/\eta ||y||=\alpha/\delta ||y||$;

la disuguaglianza vale per ogni $\alpha >1$, quindi puoi passare al limite per $\alpha \to 1^+$ ad ambo i membri e trovare:

$||x_n||<= 1/\delta ||y||$.

Che ne dici?

[Gaal Dornick]

Ok, funziona, ed è quanto avevo fatto io.. la disuguaglianza ottenuta è larga, non stretta come sul libro.

Nel frattempo provo a vedere se la dimostrazione funziona anche con la disuguaglianza larga..