Passaggio da una definizione di tensore ad un'altra
Buon giorno a tutti,
ho notato che nella geometria differenziale si possono definire i tensori con questo ragionamento:
1. definisco il prodotto tensoriale tra due spazi vettoriali $V$ e $W$: $ V \otimes W=frac{R}{ K }$ (saltando un po' di precisazioni);
2. questo spazio contiene gli elementi $v \otimes w$, con $v \in V$ e $w \in W$ posso vederli come funzioni $V^{*} \times W^{*} \rightarrow R$;
3. In particolare $ V \otimes V$ contiene i $v \otimes w$, con $v,w \in V$.
Nella meccanica del continuo invece si definisce la diade di due vettori dello spazio euclideo applicata ad un terzo come
$(v \otimes w) (u)= (w \cdot u)v$ cioè come una funzione da $V$ in se stesso (tensore doppi della mec. del cont.).
Vorrei sapere se c'è un punto di raccordo tra le due visioni di tensori. (probabilmente usando gli isomorfismi musicali dato che in uno spazio euclideo si può definire una base ortonormale, e quindi si posso identificare i vettori con delle forme lineari, ovvero gli elementi del duale).
ho notato che nella geometria differenziale si possono definire i tensori con questo ragionamento:
1. definisco il prodotto tensoriale tra due spazi vettoriali $V$ e $W$: $ V \otimes W=frac{R
2. questo spazio contiene gli elementi $v \otimes w$, con $v \in V$ e $w \in W$ posso vederli come funzioni $V^{*} \times W^{*} \rightarrow R$;
3. In particolare $ V \otimes V$ contiene i $v \otimes w$, con $v,w \in V$.
Nella meccanica del continuo invece si definisce la diade di due vettori dello spazio euclideo applicata ad un terzo come
$(v \otimes w) (u)= (w \cdot u)v$ cioè come una funzione da $V$ in se stesso (tensore doppi della mec. del cont.).
Vorrei sapere se c'è un punto di raccordo tra le due visioni di tensori. (probabilmente usando gli isomorfismi musicali dato che in uno spazio euclideo si può definire una base ortonormale, e quindi si posso identificare i vettori con delle forme lineari, ovvero gli elementi del duale).
Risposte
C'è un modo di unificare queste visioni, sì. In particolare, puoi vedere \(v\otimes w\) come una applicazione lineare \(V\to V\), definita esattamente ponendo \((v\otimes w)(u) = (w\cdot u)v\). Quello che stai nascondendo sotto il tappeto è l'identificazione (che non è canonica, ma scegliendo una base, che nelle applicazioni concrete è la base canonica) tra $V$ e il suo duale \(V^\lor\). Ti invito infatti a trovare un isomorfismo lineare tra lo spazio vettoriale \(V^\lor\otimes V\cong \hom(V\otimes V^\lor, K)\cong \hom(V, \hom(V^\lor, K))\cong \hom(V,V)\).
L'operazione che, in coordinate, restituisce il prodotto tensoriale di due vettori è il loro prodotto di Kronecker (definito essenzialmente come il prodotto "colonne per righe" di due matrici). Google dovrebbe restituirti molto materiale sotto forma di definizioni (nella pagina di Wikipedia, ad es.) e di esercizi.
L'operazione che, in coordinate, restituisce il prodotto tensoriale di due vettori è il loro prodotto di Kronecker (definito essenzialmente come il prodotto "colonne per righe" di due matrici). Google dovrebbe restituirti molto materiale sotto forma di definizioni (nella pagina di Wikipedia, ad es.) e di esercizi.
A me viene in mente questo, partendo dalla definizione della geometria differenziale:
Siano $v,w,u\in V$ e sia $g$ il prodotto scalare, definisco $g(u,\cdot)$ una forma lineare che ad un vettore $x$ associa $g(u,x)$, la funzione $b:u\rightarrow g(u,\cdot)$ si può mostrare essere un isomorfismo tra gli spazi vettoriali $V$ e $V^{'}$. Allora:
$(g(v,\cdot)\otimes w)(u)=g(v,u)w(\cdot)$,
a questo punto però mi accorgo che la relazione che ho trovato non è quella cercata.
Però sappiamo che $V\otimes W\cong W\otimes V$ quindi $V^{'} \otimes V \cong V \otimes V^{'}$; quindi:
$v\otimes w \rightarrow w\otimes v$;
In definitiva $(v\otimes w)(u):=(g(w,\cdot)\otimes v)(u)=g(w,u)v$.
Esatto?
(P.S. ovviamente la catena di isomorfismi che hai proposto te funziona, volevo solo analizzare la mia idea con dei calcoli)
Siano $v,w,u\in V$ e sia $g$ il prodotto scalare, definisco $g(u,\cdot)$ una forma lineare che ad un vettore $x$ associa $g(u,x)$, la funzione $b:u\rightarrow g(u,\cdot)$ si può mostrare essere un isomorfismo tra gli spazi vettoriali $V$ e $V^{'}$. Allora:
$(g(v,\cdot)\otimes w)(u)=g(v,u)w(\cdot)$,
a questo punto però mi accorgo che la relazione che ho trovato non è quella cercata.
Però sappiamo che $V\otimes W\cong W\otimes V$ quindi $V^{'} \otimes V \cong V \otimes V^{'}$; quindi:
$v\otimes w \rightarrow w\otimes v$;
In definitiva $(v\otimes w)(u):=(g(w,\cdot)\otimes v)(u)=g(w,u)v$.
Esatto?
(P.S. ovviamente la catena di isomorfismi che hai proposto te funziona, volevo solo analizzare la mia idea con dei calcoli)
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