Partizioni dell'unità
Ciao a tutti...
Studiando le partizioni dell'unità sul Sernesi, mi trovo di fronte l'implicita affermazione che se [tex]K \subseteq \mathbb R^n[/tex] è un compatto, allora la funzione [tex]\mathbb R^n \ni \mathbf{x} \to \text{d}(\mathbf{x},K):= \min\{\text{d}(\mathbf{x},\mathbf{y}), \: \mathbf{y} \in K\}[/tex] è una funzione differenziabile di classe [tex]\mathcal{C}^{(\infty)}[/tex]. Passi la continuità, ma non riesco a dimostrare nemmeno che è di classe [tex]\mathcal{C}^{(1)}[/tex]... qualcuno ha qualche saggio consiglio in merito?
Studiando le partizioni dell'unità sul Sernesi, mi trovo di fronte l'implicita affermazione che se [tex]K \subseteq \mathbb R^n[/tex] è un compatto, allora la funzione [tex]\mathbb R^n \ni \mathbf{x} \to \text{d}(\mathbf{x},K):= \min\{\text{d}(\mathbf{x},\mathbf{y}), \: \mathbf{y} \in K\}[/tex] è una funzione differenziabile di classe [tex]\mathcal{C}^{(\infty)}[/tex]. Passi la continuità, ma non riesco a dimostrare nemmeno che è di classe [tex]\mathcal{C}^{(1)}[/tex]... qualcuno ha qualche saggio consiglio in merito?
Risposte
Non sono troppo sicuro che sia vero. Anzi mi sa proprio che è falso. Prendi una corona circolare chiusa di centro l'origine in $RR^2$, che so:
$K={x \in RR^2 | 1 le |x| le 2}$.
Nell'interno del cerchio unitario la distanza da $K$ è data da
$"dist"(x, K)=1-|x|$
che non è differenziabile per $x=0$.
Sbaglio?
$K={x \in RR^2 | 1 le |x| le 2}$.
Nell'interno del cerchio unitario la distanza da $K$ è data da
$"dist"(x, K)=1-|x|$
che non è differenziabile per $x=0$.
Sbaglio?
No, hai assolutamente ragione... quindi sono io che sto leggendo Roma per Toma... Torno a meditare sulla dimostrazione, eventualmente posterò in forma più esplicita i miei dubbi.
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