Parte della dimostrazione di $[0,1]$ compatto nella topologia euclidea

[Angus1956]

Allora non mi è ben chiara una parte della dimostrazione secondo cui $[0,1]$ è compatto.
Sia $A={V_i}_(iinI)$ una famiglia di aperti di $RR^+$. Poniamo $X={tinRR^+| [0,t]subB_1uu...uuB_n$ numero finito di elementi di $A}$ e $y=s up_{tinX}(t)$. Perchè $y!=0$? In teoria non si potrebbe avere che $X={0}$ da cui $y=0$? (ovviamente so che $[0,t]$ è sempre un compatto per $tinRR^+$ però ovviamente qua suppongo di non sapere come sono fatti i compatti di $RR$)

[otta96]

Come sono gli aperti che contengono $0$?

[j18eos]

...inoltre \(t\in[0,1]\) e non \(t\in\mathbb{R}_{\geq0}\)!

[Angus1956]

"otta96":Come sono gli aperti che contengono $0$?

Intendi in $RR$ o in $RR^+$? In $RR^+$ sono della forma $[0,t)$ con $tinRR^+$ e le loro unioni. In $RR$ invece sono gli aperti $(t_1,t_2)$ con $t_1<0$ e $t_2>0$ e le loro unioni

[Angus1956]

"j18eos":...inoltre \(t\in[0,1]\) e non \(t\in\mathbb{R}_{\geq0}\)!

No ma è solo una parte c è i ricoprimenti di $RR^+$ poi la faccio derivare da quelli di $[0,1]$ ma a me serve capire solo quella parte.

[otta96]

"andreadel1988":Intendi in $RR$ o in $RR^+$? In $RR^+$ sono della forma $[0,t)$

Quindi $y$ non può essere $0$.

[Angus1956]

"otta96":
Quindi $y$ non può essere $0$.

A perchè se prendo $t_1>0$ e $t_2>t_1$ ho che $[0,t_2)$ è un aperto di $RR^+$ e $[0,t_1]sub[0,t_2)$ e quindi $t_1inX$ ma siccome $t_1>0$, allora $y>0$ (poi più nello specifico si dimostra che $y>1$)

[otta96]

No più semplicemente dato che $0$ sta in un aperto che contiene un insieme del tipo $[0,t)$ con $t>0$, si ha che $t/2\inX$.

[Angus1956]

"otta96":No più semplicemente dato che $0$ sta in un aperto che contiene un insieme del tipo $[0,t)$ con $t>0$, si ha che $t/2\inX$.

Ok, grazie