Parentesi di lie
Salve come si dimostrereste che la parentesi di lie è antisimmetrica? è giusto dire che $[A,B]=BA-AB=-[A,B]$ 
e sapreste spiegarmi cosa studia l'algebra di lie..
e sapreste spiegarmi cosa studia l'algebra di lie..
Risposte
Veramente dovresti dimostrare che \([A;B]=-[B;A]\)...
Inoltre, le algebre di Lie sono particolari algebre; in geometria differenziale trovi le algebre di Lie \(\mathfrak{X}(M)\) dei campi vettoriali su una varietà differenziabile \(M\), in particolare lo spazio tangente \(T_eG\) nell'identità \(e\) di un gruppo di Lie \(G\) è la sua algebra di Lie \(\mathfrak{X}(G)\) o \(\mathfrak{G}\).
Poi, se vogliamo usicre della geometria differenziale, a meno di miei errori, vi sono le algebre di Lie delle rappresentazioni di gruppi (argomento di un corso che dovrei seguire, tra parentesi)!
Inoltre, le algebre di Lie sono particolari algebre; in geometria differenziale trovi le algebre di Lie \(\mathfrak{X}(M)\) dei campi vettoriali su una varietà differenziabile \(M\), in particolare lo spazio tangente \(T_eG\) nell'identità \(e\) di un gruppo di Lie \(G\) è la sua algebra di Lie \(\mathfrak{X}(G)\) o \(\mathfrak{G}\).
Poi, se vogliamo usicre della geometria differenziale, a meno di miei errori, vi sono le algebre di Lie delle rappresentazioni di gruppi (argomento di un corso che dovrei seguire, tra parentesi)!
si si ho sbagliato a riportare $-[B,A]$.. come si dovrebbe procedere?
"xnix":Mediante la definizione!
...come si dovrebbe procedere?
In altro modo: hai la soluzione sotto il naso!
P.S.: Lie era un matematico svedese!
cioè la dimostrazione sta nello scrivere: $[A,B]=AB-BA=-[B,A]$ ..?
Come giustifichi l'eguaglianza tra il secondo e il terzo termine?
In senso contrario, esplicitamente a chi è uguale il terzo termine?!
In senso contrario, esplicitamente a chi è uguale il terzo termine?!
\[[A,B]=AB-BA=-(-AB+BA)=-(BA-AB)=-[B,A]\]
Grazie Cuspide83, anche a nome di xnix che ha perso un'occasione per rendersi conto di aver perso "di vista una montagna solo perché vi era salita sopra"! -_-
sia $A=-A^t$ e $B=-B^t$ Dimostrazione: $[A,B]=AB-BA= (B)^t(A)^t-(A)^t(B)^t=(-B-A)-(-A-B)=BA-AB=-(AB-BA)=-[A,B]^t$... può andare
Cosa sono \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \)?! Dipende da come hai definito la "parentesi di Lie", come dice giustamente j18eos...
sono matrici..
La dimostrazione l'ha scritta cuspide... non ti convince?
non credo proprio sia quella... il mio prof di geometria ha scritto che è in quel modo che ho scritto prima. tu dici di no?
p.s. se così fosse gentilmente potresti dimostrare la tua tesi in maniera convincente? grazie (il grazie consideralo tuo se dimostri il contrario, cioè che ho scritto una grande scemenza)
p.s. se così fosse gentilmente potresti dimostrare la tua tesi in maniera convincente? grazie (il grazie consideralo tuo se dimostri il contrario, cioè che ho scritto una grande scemenza)
La dimostrazione che cercavo di farti scoprire è quella proposta da Cuspide83!
Non vedo perché dovrei complicarmi la vita, cercando una dimostrazione "stramba" di un fatto per me arcinoto!
Infine, cosa avrebbe di sbagliato quella dimostrazione?
Non vedo perché dovrei complicarmi la vita, cercando una dimostrazione "stramba" di un fatto per me arcinoto!
Infine, cosa avrebbe di sbagliato quella dimostrazione?
ma io non ho detto che è sbagliata.. ho solo dimostrato in maniera più forte che l'operatore di lie è antisimmetrico
La tua dimostrazione modificata (a parte qualche parentesi tonda) è corretta.
Domanda: ma devi dimostrare che le matrici antisimmetriche formano una sottoalgebra di Lie (reale) di \(\mathbb{R}^n_n\)?
Domanda: ma devi dimostrare che le matrici antisimmetriche formano una sottoalgebra di Lie (reale) di \(\mathbb{R}^n_n\)?
no non devo dimostrare che formano una sottoalgebra di lie ,per fortuna, ma in realtà la formano,giusto??
Eh sì: l'insieme delle matrici antisimmetriche \(\mathscr{AS}(\mathbb{R};n)\) è un \(\mathbb{R}\)-spazio vettoriale chiuso rispetto alla parentesi di Lie definita di sopra, per cui è un'algebra di Lie (reale); contenuta nell'algebra di Lie \(\mathbb{R}^n_n\)!
Do per scontato che tu abbia dimostrato che valgano le proprietà di bilinearità e di Jacobi!
Do per scontato che tu abbia dimostrato che valgano le proprietà di bilinearità e di Jacobi!
certamente!! comunque grazie
Prego, di nulla!
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