Parametrizzazioni regolari di alcune superfici
Quante parametrizzazioni regolari esistono del cilindro e della sfera ?
Se ne esiste una sola, perché ?
Grazie.
Se ne esiste una sola, perché ?
Grazie.
Risposte
Detta così credo che la domanda non abbia molto senso. O almeno, per come è posta la domanda, io risponderei infinite in entrambi i casi (oppure se si richiede che sia globale, risponderei zero per la sfera e infinite per il cilindro).
Quindi puoi specificare cosa vuol dire per te "parametrizzazione regolare"?
Quindi puoi specificare cosa vuol dire per te "parametrizzazione regolare"?
Mi è venuto in mente come spiegarmi meglio.
Consideriamo qualsiasi cilindro senza basi in $RR^3$; tutte le possibili parametrizzazioni regolari hanno come famiglie di isolinee le rette generatrici della superficie laterale del cilindro e le circonferenze trasversali ?
O ci sono anche parametrizzazioni regolari con tipi di isolinee diverse ?
Consideriamo qualsiasi cilindro senza basi in $RR^3$; tutte le possibili parametrizzazioni regolari hanno come famiglie di isolinee le rette generatrici della superficie laterale del cilindro e le circonferenze trasversali ?
O ci sono anche parametrizzazioni regolari con tipi di isolinee diverse ?
Ripeto...definisci "parametrizzazione regolare"...e già che ci sei definisci "isolinea"
Da come la so io, una parametrizzazione regolare è una mappa differenziabile da un aperto connesso (volendo pure semplicemente connesso) di $\mathbb{R}^2$ in $\mathbb{R}^3$ la cui immagine è (un pezzo del)la tua superficie. Se per isolinee intendi le linee coordinate (ovvero le immagini di $x = cost$ oppure $y=cost$) allora la risposta è no.
Infatti, data una qualunque parametrizzazione $P : A \to C$ dove $A$ è un aperto di $\mathbb R ^2$, basta ruotare un filino $A$ (e cambiare $P$ di conseguenza) per cambiare le linee coordinate.
Da come la so io, una parametrizzazione regolare è una mappa differenziabile da un aperto connesso (volendo pure semplicemente connesso) di $\mathbb{R}^2$ in $\mathbb{R}^3$ la cui immagine è (un pezzo del)la tua superficie. Se per isolinee intendi le linee coordinate (ovvero le immagini di $x = cost$ oppure $y=cost$) allora la risposta è no.
Infatti, data una qualunque parametrizzazione $P : A \to C$ dove $A$ è un aperto di $\mathbb R ^2$, basta ruotare un filino $A$ (e cambiare $P$ di conseguenza) per cambiare le linee coordinate.
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