PARAMETRIZZAZIONE SUPERFICIE

[silvia050505]

Salve,
Come posso parametrizzare una superficie con equazione cartesiana (x^2)+(y^2)-2x(cosz)-2y(senz)=0?

[Sk_Anonymous]

Puoi porre :
$y=ux,z=v$
Sostituendo nell'equazione della superficie, con po' di calcoli, hai le equazioni parametriche richieste:
\begin{cases}x=2\cdot\frac{u\cdot \sin v+\cos v}{1+u^2}\\y=2u\cdot\frac{u\cdot \sin v+\cos v}{1+u^2}\\z=v\end{cases}

[nakai1]

per farti un'idea di come è fatta la superficie e capire quale parametrizzazione usare prova ad usare le coordinate cilindriche

[ciampax]

Io direi che sostituire le coordinate cilindriche porta solo a un caos senza fine per determinare poi $z$. Procederei così, invece: osserva che possiamo scrivere l'equazione della superficie come
$$(x-\cos z)^2+(y-\sin z)^2=1$$
Ora, consideriamo un valore fissato di $z=k$ (che equivale a prendere il piano $z=k$ che taglia la superficie): così facendo ci accorgiamo che le curve tagliate da tali piani sono circonferenze di centro il punto $(cos k,\sin k,k)$ e raggio $1$. Allora la cosa più intelligente da fare è parametrizzare tali curve in coordinate polari generiche: dal momento che la circonferenza $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ si parametrizza come $x=a+r\cos t,\ y=b+r\sin t$, si ha
$$x=\cos k+\cos t,\qquad y=\sin k+\sin t,\qquad t\in[0,2\pi]$$
A questo punto, la parametrizzazione che ne viene fuori è
$$(\cos z+\cos t,\sin z+\sin t,z)$$
con $t\in[0,2\pi]$ e $z\in RR$ (visto che non vedo altre imposizioni).