Parametrizzazione per lunghezza d'arco

[gandolfo_m]

Ciao,

volevo chiedervi un aiuto sulla parametrizzazione per lunghezza d'arco, formalmente l'ho capita però c'è una frase del prof che mi lascia in dubbio di non aver afferrato del tutto il concetto. Egli dice che tale parametrizzazione vuol dire che tra tutti i moti possibili lungo una traiettoria siamo interessati a quelli con velocità 1 (costante). Però il mio dubbio è il seguente: la velocità implica uno spazio nel tempo quindi parametrizzazione temporale, qui parametrizzo con uno spazio (nel senso che uso come parametro la lunghezza stessa in un certo senso) quindi perché velocità?
A me sembra solo che la derivata sia 1 e questo va bene, ma non mi pare propriamente una velocità, il che mi confonde. Oppure devo proprio immaginarlo come spostamento con velocità costante? sono confuso sull'intuizione.

Qualche aiuto?

[Angus1956]

La definizione precisa di curva parametrizzata per lunghezza d'arco è: presa $gamma(t)$ una curva si dice parametrizzata per lunghezza d'arco se $norm(gamma'(t))=1$ per ogni tempo $t$. Quindi la lunghezza dell'arco da $gamma(t_0)$ a $gamma(t_1)$ è data da $\int_{t_0}^{t_1}norm(gamma'(t))dt=t_1-t_0$.

[gandolfo_m]

Chiamiamo solo per comodità s il parametro per paramentrizzare per lunghezza d'arco. Detto ciò io ho la definizione che dai tu e sono d'accordo, però quello che volevo dire io è che quando parlo di velocità qui io ho ∥γ'(s)∥=1 che mi sembra diversa dal concetto di velocità intesa come spazio nel tempo che sarebbe ∥γ'(t)∥.

Cambiando il parametro "temporale" t in quello di lunghezza d'arco s, la velocità propriamente detta non è unitaria, è unitaria la "velocità" intesa come derivazione della curva nei confronti di s (ma non di t).
Quindi non capisco in che senso la velocità è unitaria, perché non è detto che ∥γ'(t)∥ che è la vera velocità (perdonami l'espressione ma per capici) sia unitaria