Paralleli, Meridiani, Geodetiche
Innanzitutto vorrei scusarmi se gli argomenti che sto per affrontare sono già stati trattati in topic precedenti. Ho provato a cercare ma non ho trovato nulla, quindi suppongo non esistano al momento topic a riguardo.
I miei dubbi riguardano la parte di geometria di superfici che concerne meridiani, paralleli, geodetiche, etc; diciamo che sebbene a livello teorico/intuitivo sono tutti concetti abbastanza chiari, non avendo a disposizione esercizi svolti (né avendone il prof svolti in classe), non sono ancora riuscita a focalizzarli bene, proprio a livello di esercizi (e domani c'è lo scritto!).
Allora, quello che io ho capito è:
- la derivata covariante è la proiezione sul piano tangente della derivata di un vettore (che deve originariamente appartenere anch'esso al piano tangente, giusto?)
- Un vettore $w$ è un parallelo se la sua derivata covariante è identicamente nulla (anche se non capisco il nesso tra questa definizione è quella che mi definisce parallelo come, data una superficie $\phi(t,\theta)$, la $\phi$ con $t$ fissato e meridiano la $\phi$ con $\theta$ fissato)
- Una geodetica è una curva $\alpha(t)$ sulla superficie t.c. la derivata covariante di $\alpha'(t)$ è identicamente nulla, e ciò accade se la curvatura è zero oppure il versore normale alla curva è parallelo al versore normale alla superficie
- La curvatura geodetica di $\alpha(t)$ è infine definita come $(\alpha'', N ^^\alpha' ) $
(ed è zero se e solo se $\alpha$ è geodetica)
Detto questo, non ho proprio idea di come affrontare a livello pratico degli esercizi (ovvero calcolare esplicitamente, data una determinata curva, chi sono i suoi meridiani, paralleli, geodetiche, etc). Sul libro che ho a disposizione (purtroppo su internet a riguardo non ho trovato nulla) c'è un solo esercizio svolto:
"Dato il paraboloide ellittico di rotazione parametrizzato da $ \phi(t,\theta) = (tcos\theta,tcos\theta,t^2) $, determinare la curvatura geodetica dei paralleli e mostrare che i meridiani sono geodetiche."
Dopo essersi trovato il versore normale (fin qui tutto ok), il libro dice:
"Per i paralleli troviamo
$ vect = (-sin\theta, cos\theta, 0) $
e onestamente chi sia questo t non l'ho capito (nel senso, a occhio vedo che è la derivata in dθdt della φ, però non ho capito perché sto considerando questo vettore (né, tantomeno, se stessimo parlando di meridiani o di una superficie differente, come cambierebbero le cose). Poi continua:
$ dot(vect) = vect' * 1/|\phi\theta| = (-cos\theta, -sin\theta, 0) $ (con $\phi\theta$ intendo la derivata in $d\theta$ di $\phi$)
[e qui secondo me mancherebbe un $1/t$]
e quindi calcola $ N ^^ vect $ e da questo la curvatura geodetica come $ (dot(vect), N ^^ vect) $
Per quanto riguarda la seconda parte, ovvero quella dei meridiani, si limita a dire di procedere in modo analogo oppure usare qualche proposizione per dimostrare il fatto.
Il problema è che io NON saprei che fare per procedere in modo analogo. Come ho determinato $ vect $? E' sempre la derivata nelle due variabili della superficie? Chi è per i meridiani il vettore analogo a $ vect $ che devo considerare? Si svolgono sempre cosi esercizi di questo tipo? Se mi avesse chiesto esplicitamente di calcolare le geodetiche, che avrei dovuto fare? Il metodo più semplice sarebbe il sistema di equazioni differenziali? Quanto di questo discorso è applicabile a superfici non di rotazione?
I miei dubbi riguardano la parte di geometria di superfici che concerne meridiani, paralleli, geodetiche, etc; diciamo che sebbene a livello teorico/intuitivo sono tutti concetti abbastanza chiari, non avendo a disposizione esercizi svolti (né avendone il prof svolti in classe), non sono ancora riuscita a focalizzarli bene, proprio a livello di esercizi (e domani c'è lo scritto!).
Allora, quello che io ho capito è:
- la derivata covariante è la proiezione sul piano tangente della derivata di un vettore (che deve originariamente appartenere anch'esso al piano tangente, giusto?)
- Un vettore $w$ è un parallelo se la sua derivata covariante è identicamente nulla (anche se non capisco il nesso tra questa definizione è quella che mi definisce parallelo come, data una superficie $\phi(t,\theta)$, la $\phi$ con $t$ fissato e meridiano la $\phi$ con $\theta$ fissato)
- Una geodetica è una curva $\alpha(t)$ sulla superficie t.c. la derivata covariante di $\alpha'(t)$ è identicamente nulla, e ciò accade se la curvatura è zero oppure il versore normale alla curva è parallelo al versore normale alla superficie
- La curvatura geodetica di $\alpha(t)$ è infine definita come $(\alpha'', N ^^\alpha' ) $
(ed è zero se e solo se $\alpha$ è geodetica)
Detto questo, non ho proprio idea di come affrontare a livello pratico degli esercizi (ovvero calcolare esplicitamente, data una determinata curva, chi sono i suoi meridiani, paralleli, geodetiche, etc). Sul libro che ho a disposizione (purtroppo su internet a riguardo non ho trovato nulla) c'è un solo esercizio svolto:
"Dato il paraboloide ellittico di rotazione parametrizzato da $ \phi(t,\theta) = (tcos\theta,tcos\theta,t^2) $, determinare la curvatura geodetica dei paralleli e mostrare che i meridiani sono geodetiche."
Dopo essersi trovato il versore normale (fin qui tutto ok), il libro dice:
"Per i paralleli troviamo
$ vect = (-sin\theta, cos\theta, 0) $
e onestamente chi sia questo t non l'ho capito (nel senso, a occhio vedo che è la derivata in dθdt della φ, però non ho capito perché sto considerando questo vettore (né, tantomeno, se stessimo parlando di meridiani o di una superficie differente, come cambierebbero le cose). Poi continua:
$ dot(vect) = vect' * 1/|\phi\theta| = (-cos\theta, -sin\theta, 0) $ (con $\phi\theta$ intendo la derivata in $d\theta$ di $\phi$)
[e qui secondo me mancherebbe un $1/t$]
e quindi calcola $ N ^^ vect $ e da questo la curvatura geodetica come $ (dot(vect), N ^^ vect) $
Per quanto riguarda la seconda parte, ovvero quella dei meridiani, si limita a dire di procedere in modo analogo oppure usare qualche proposizione per dimostrare il fatto.
Il problema è che io NON saprei che fare per procedere in modo analogo. Come ho determinato $ vect $? E' sempre la derivata nelle due variabili della superficie? Chi è per i meridiani il vettore analogo a $ vect $ che devo considerare? Si svolgono sempre cosi esercizi di questo tipo? Se mi avesse chiesto esplicitamente di calcolare le geodetiche, che avrei dovuto fare? Il metodo più semplice sarebbe il sistema di equazioni differenziali? Quanto di questo discorso è applicabile a superfici non di rotazione?
Risposte
Il termine parallelo è usato con due accezioni differenti. Quando intendi paralleli e meridiani l'origine di questi termini viene dalla cartografia e devi pensarli come ad una cartina geografica. Quando intendi vettore parallelo intendi che non ha componenti "trasversali" rispetto alla superficie.
Per quanto riguarda il vettore $t$ è il vettore tangente normazillato cioè $t=\frac{\del_{\theta}\phi}{|\del_{\theta}\phi|}$ per i meridiani fai lo stesso. Per le geodetiche calcoli la derivata covariante e vedi che per i meridiani viene nulla. buoni conti.
Per quanto riguarda il vettore $t$ è il vettore tangente normazillato cioè $t=\frac{\del_{\theta}\phi}{|\del_{\theta}\phi|}$ per i meridiani fai lo stesso. Per le geodetiche calcoli la derivata covariante e vedi che per i meridiani viene nulla. buoni conti.
Anche secondo me tu fai confusione tra parallelo (cartografia) e trasporto per parallelismo (o trasporto parallelo)...
Ah ti ringrazio. Si in effetti non avevo capito che erano concetti diversi però non mi spiegavo come si potesse intendere una volta un vettore e una volta una curva. Perfetto.
Per quanto riguarda l'esercizio avrei un'altra domanda: anche per i meridiani è esattamente lo stesso vettore o devo fare il tangente rispetto a dt?
Un'altra cosa: c'è un errore di conto oppure è giusto quello che fa per ottenere $ dot(vect) $ ? Perché è come se avesse normalizzato di nuovo però coi conti a me non risulta... Devo ri-normalizzare?
Per quanto riguarda l'esercizio avrei un'altra domanda: anche per i meridiani è esattamente lo stesso vettore o devo fare il tangente rispetto a dt?
Un'altra cosa: c'è un errore di conto oppure è giusto quello che fa per ottenere $ dot(vect) $ ? Perché è come se avesse normalizzato di nuovo però coi conti a me non risulta... Devo ri-normalizzare?
[mod="Alexp"]
ti ho riscritto le formule perchè erano illeggibili, mi raccomando presta più attenzione...
[/mod]
ti ho riscritto le formule perchè erano illeggibili, mi raccomando presta più attenzione...
[/mod]
i due parametri ti individuano due famiglie di curve (i meridiani e i paralleli), non puoi usare lo stesso vettore tangente per descrivere due curve diverse
Scusami tomomimorgan, hai la soluzione del valore della curvatura geodetica dei paralleli?
Perchè ho fatto lo stesso conto usando un altro metodo (che si vede nella dimostrazione della formula di Liouville) e volevo vedere se era giusto.
Grazie!
Perchè ho fatto lo stesso conto usando un altro metodo (che si vede nella dimostrazione della formula di Liouville) e volevo vedere se era giusto.
Grazie!
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