Parallele iperboliche

DavideGenova1
Ciao, amici! Nei Fondamenti della Geometria Hilbert, appendice terza, costruisce il campo dei versi delle rette del piano iperbolico con opportune definizioni di somma e prodotto, dove i versi sono le classi di parallelismo tra semirette.
In questa geometria valgono gli assiomi di incidenza, ordine e congruenza I 1-3, II e III e il parallelismo è formulato sulla base dell'assioma IV
"D. Hilbert":
Se $b$ è una retta qualsiasi ed $A$ un punto che non stia su essa, ci sono sempre due semirette $a_1,a_2$, aventi origine in $A$, che non formano una medesima retta e che non intersecano la retta $b$, mentre ogni semiretta avente origine in $A$ e posta nella regione angolare definita da $a_1$ ed $a_2$ interseca la retta $b$.

La retta $b$ sia divisa da uno qualsiasi dei suoi punti $B$ nelle due semirette $b_1$ e $b_2$ e $a_1,b_1$ stiano da un lato della retta $AB$ e $a_2,b_2$ dall'altro lato: allora la semiretta $a_1$ sarà detta parallela alla semiretta $b_1$ e così pure la semiretta $a_2$ alla semiretta $b_2$: similmente diciamo che le due semirette $a_1,a_2$ sono parallele alla retta $b$ e diciamo anche che ognuna delle due rette di cui $a_1$ e $a_2$ sono semirette, sono parallele a $b$.


Nel teorema 3 Hilbert dimostra che per due versi $\alpha$ e $\beta$ esiste una retta che li ha.
Non ne dimostra l'unicità, ma da come prosegue costruendo il campo dei versi, e ancor di più da come si definiscono in modo univoco le coppie di coordinate di una retta in funzione di due versi, mi sembra che si dia per scontato che tale retta sia unica.

Qualcuno può confermarmi se, secondo questa definizione di parallelismo (che non esclude naturalmente affatto che ci siano rette all'esterno dell'angolo \(\measuredangle(a_1,a_2)\) che non intersechino $b$), non possa esistere più di una retta iperbolica parallela ad una semiretta di verso $\alpha$ e ad una di verso $\beta$?
$\infty$ grazie a tutti!

Risposte
dissonance
Buh. Ma sei sicuro che ti convenga continuare a leggere da li'? Quel libro ha importanza solo storica, la matematica moderna, per quel poco che ne so io, è molto diversa. Per esempio se ti piace la geometria iperbolica ti potresti leggere le note di Nigel Hitchin, che è un grande matematico contemporaneo (le trovi gratis in rete). Oppure se vuoi un libro puoi sfogliare il Penrose: Road to Reality, che avrà sicuramente almeno un capitolo sulla geometria iperbolica. E se chiedi altri suggerimenti su questo forum arriveranno certamente frotte di geometri a consigliarti.

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