Paradosso di Banach-Tarski
Ho letto che dividendo una sfera solida piena in 5 parti queste ultime si possono rimettere insieme per formare due sfere di ugual volume di quella divisa. Come è possibile? Volendo dare una dimostrazione-interpretazione fisico-matematica che cosa devo immaginare? Nel senso: posso prendere un palloncino sferico e riempirlo d'acqua che è omogenea ed incompressibile, ma quando vado a rimettere insieme le parti di acqua non
ottengo proprio il volume iniziale della sfera non divisa? Dunque il fluido che riempie la sfera deduco che deve essere comprimibile ad ex. aria. Dopo come vado avanti?
ottengo proprio il volume iniziale della sfera non divisa? Dunque il fluido che riempie la sfera deduco che deve essere comprimibile ad ex. aria. Dopo come vado avanti?
Risposte
"Simone Masini":Si chiama "assioma della scelta", ed è una forma di sostanza stupefacente diffusa tra i giovani.
Come è possibile?
Volendo dare una dimostrazione-interpretazione fisico-matematica che cosa devo immaginare?Niente, si chiama "paradosso" proprio perché si può costruire ma non raffigurare. Senza contare che volere a tutti i costi trovare un significato fisico negli oggetti matematici è una forma di superstizione.
"solaàl":
Niente, si chiama "paradosso" proprio perché si può costruire ma non raffigurare. Senza contare che volere a tutti i costi trovare un significato fisico negli oggetti matematici è una forma di superstizione.
...che però spesso ha funzionato.
In fondo la matematica è un "sostegno" logico per chi vuole rappresentare il mondo fisico...poco importa se i matematici lo vedono come un mondo a se. E come statistico aggiungerei che è un mondo imperfetto se non ha variabilità e non viceversa.
E' prevedibile che uno statistico abbia, della matematica, una visione tanto marginale; comunque prego, spiega pure dove sta il paradosso di Banach-Tarski "nella realtà".
"solaàl":
E' prevedibile che uno statistico abbia, della matematica, una visione tanto marginale; comunque prego, spiega pure dove sta il paradosso di Banach-Tarski "nella realtà".
Lo dicevano anche delle soluzioni complesse che scartavano...poi Dirac ha intuito che potessero rappresentare l'antimateria. Esci dalla scatola. La teoria dei gruppi divenne un riferimento quando, invece di trovare un numero ristretto e ben definito di particelle elementari, trovarono un "bestiario" usando le parole di Gell-Man..che appunto pensò di ricorrere alla teoria dei gruppi per trovare una descrizione più elementare di tutte quelle pazze varianti di particelle già note, i quark. Ma i modelli non sono la realtà, sono il nostro modo di comprenderla e non ammettere che la realtà sia intrinsecamente variabile è pura cecità. Come disse Pirandello "tutta la nostra conoscenza è legata al sottile filo della regolarità" e ne facciamo buon uso e continueremo a farne.
Ogni spazio vettoriale $V$ ha una base. Dimostrazione: consideriamo l'insieme di tutte le tuple di vettori linearmente indipendenti con l'ordine dato dalla relazione d'inclusione, per il lemma di Zorn (equivalente di AC) esiste un massimale $M$. Concludiamo che $M$ è una base di $V$.
Questa osservazione è molto utile se devi scrivere un libro di algebra astratta e quando parli di spazio vettoriale vuoi dare per scontato che ci sia un metodo per scegliere una base senza stare tutte le volte a specificarlo, ma nella realtà che utilità può avere? Esiste uno spazio vettoriale che abbia acquisito importanza in un'applicazione prima che se ne potesse costruire una base? Da quello che so io no, anzi la teoria degli spazi vettoriali infito-dimensionali ha acquisito importanza proprio in seguito alla scoperta, con metodi costruttivi, delle base di Fourier. Nel caso finito la scelta della base è sempre stata banale.
Secondo il primo enunciato si può dimostrare che $RR$ visto come spazio vettoriale su $QQ$ ha una base di cardinalità del continuo, idem $RR^n$, e quindi sono isomorfi. Ne segue che $RR$ e $RR^n$ sono isomorfi come gruppi abeliani, quindi potremmo fare le somme utilizzando sempre uno scalare, sembra una cosa interessante. Purtroppo però quando provi a trovare la base di un simile spazio scopri che non esiste un modo costruttivo per farlo:
(primo commento)
https://math.stackexchange.com/question ... er-mathbbq
Praticamente l'esistenza di tale base può essere definita solo utilizzando l'assioma della scelta, per quello che interessa a noi è praticamente un ragionamento circolare. Potrà mai avere un'applicazione in campo fisico/ingegneristico questo spazio vettoriale? Secondo me no.
Il paradosso di Banach-Tarski non lo conosco bene ma anche quello gioca su AC e cardinalità del continuo.
Questa osservazione è molto utile se devi scrivere un libro di algebra astratta e quando parli di spazio vettoriale vuoi dare per scontato che ci sia un metodo per scegliere una base senza stare tutte le volte a specificarlo, ma nella realtà che utilità può avere? Esiste uno spazio vettoriale che abbia acquisito importanza in un'applicazione prima che se ne potesse costruire una base? Da quello che so io no, anzi la teoria degli spazi vettoriali infito-dimensionali ha acquisito importanza proprio in seguito alla scoperta, con metodi costruttivi, delle base di Fourier. Nel caso finito la scelta della base è sempre stata banale.
Secondo il primo enunciato si può dimostrare che $RR$ visto come spazio vettoriale su $QQ$ ha una base di cardinalità del continuo, idem $RR^n$, e quindi sono isomorfi. Ne segue che $RR$ e $RR^n$ sono isomorfi come gruppi abeliani, quindi potremmo fare le somme utilizzando sempre uno scalare, sembra una cosa interessante. Purtroppo però quando provi a trovare la base di un simile spazio scopri che non esiste un modo costruttivo per farlo:
(primo commento)
https://math.stackexchange.com/question ... er-mathbbq
Praticamente l'esistenza di tale base può essere definita solo utilizzando l'assioma della scelta, per quello che interessa a noi è praticamente un ragionamento circolare. Potrà mai avere un'applicazione in campo fisico/ingegneristico questo spazio vettoriale? Secondo me no.
Il paradosso di Banach-Tarski non lo conosco bene ma anche quello gioca su AC e cardinalità del continuo.
Se vuoi un'interpretazione "intuitiva" del paradosso di Banach-Tarski, puoi guardarti questo video, che trovo essere fatto bene
https://www.youtube.com/watch?v=s86-Z-CbaHA
https://www.youtube.com/watch?v=s86-Z-CbaHA
C'è un punto della dimostrazione dove devi evidentemente fare una costruzione che non ha controparte fisica; nel senso che (se ricordo bene) devi considerare una certa azione di gruppo e un trasversale delle orbite, e poi questo trasversale si scopre avere la proprietà mirabolante di avere "raddoppiato il volume della sfera".
[ot]Ce lo raccontarono al secondo anno; a quei tempi credevo ancora nelle persone, e mi stampai una dispensina che conteneva una dimostrazione di BT; andai dal professore, peraltro molto amato dagli studenti, e gli dissi di aver trovato quella dispensa il giorno prima [implicito: "cosa c'è scritto? Me la spieghi meglio?"]. La sua risposta fu "ok, buon per te: e quindi?"
Che figli di Banach (o Tarski, dp cntrll) gli analisti.[/ot]
[ot]Ce lo raccontarono al secondo anno; a quei tempi credevo ancora nelle persone, e mi stampai una dispensina che conteneva una dimostrazione di BT; andai dal professore, peraltro molto amato dagli studenti, e gli dissi di aver trovato quella dispensa il giorno prima [implicito: "cosa c'è scritto? Me la spieghi meglio?"]. La sua risposta fu "ok, buon per te: e quindi?"
Che figli di Banach (o Tarski, dp cntrll) gli analisti.[/ot]
"Overflow94":
Purtroppo però quando provi a trovare la base di un simile spazio scopri che non esiste un modo costruttivo per farlo:
Scusa, ma non possiamo considerare la base indotta dall'isomorfismo[nota]A NASO mi sembra un isomorfismo[/nota] che associa ad ogni numero reale la sua rappresentazione decimale, o comunque rispetto a qualsiasi altra base[nota]Le potenze di 10 sono una base in quanto generatori (nel senso degli spazi a dimensione infinita) linearmente indipendenti.[/nota]?
A quel punto, \(\displaystyle \forall x\in\mathbb{R} \)
\(\displaystyle x=\sum_{-\infty} ^{+\infty}x_k10^k \).
Non capisco cosa ci sia diverso dalla base di un qualsiasi spazio di polinomi \(\displaystyle \mathbb{K}[t] \)
EDIT: ho frainteso gli spazi in questione, in effetti trovare una base di R su Q è un fatto bello che risolto.
Mi sembra incredibile che nessuno abbia ancora detto la cosa più importante. Il senso del paradosso di Banach-Tarski è dimostrare che non a tutti gli insiemi in \(\mathbb R^3\) si può assegnare un volume. Infatti, questo porterebbe alla contraddizione che si può smontare e rimontare una sfera, raddoppiandone il volume. Quest'ultimo evento non è da intendersi in senso fisico; è una contraddizione.
Secondo voi quanto cambierebbe la matematica senza l'assioma della scelta?
per esempio a me verrebbe a mancare una dimostrazione come "compatto sse compatto per successioni", per spazi a base numerabile.
per esempio a me verrebbe a mancare una dimostrazione come "compatto sse compatto per successioni", per spazi a base numerabile.
[ot]
[/ot]
"sphyr":Questa te la rubo, e la utilizzerò a lezione; perché sembra una base, o per lo meno un sistema di generatori. Ma in realtà non è un sistema di generatori, perché le combinazioni lineari "coinvolgono finiti addendi".
[...] Le potenze di 10 sono una base in quanto generatori (nel senso degli spazi a dimensione infinita) linearmente indipendenti [...] A quel punto, \(\displaystyle \forall x\in\mathbb{R},x=\sum_{-\infty} ^{+\infty}x_k10^k \). [...]
[/ot]
"j18eos":Questa te la rubo, e la utilizzerò a lezione; perché sembra una base, o per lo meno un sistema di generatori. Ma in realtà non è un sistema di generatori, perché le combinazioni lineari "coinvolgono finiti addendi".
[ot][quote="sphyr"][...] Le potenze di 10 sono una base in quanto generatori (nel senso degli spazi a dimensione infinita) linearmente indipendenti [...] A quel punto, \(\displaystyle \forall x\in\mathbb{R},x=\sum_{-\infty} ^{+\infty}x_k10^k \). [...]
[/ot][/quote][ot]Ma allora ho un dubbio: possiamo definire i generatori per spazi vettoriali a dimensione infinita?
Col lemma di Zorn si dimostra che le basi di cardinalità infinita esistono (e non sono un divertissement onanistico[nota]Se non bastassero le serie di fourier a convincere i miscredenti, c'è sempre questo:https://books.google.it/books?hl=it&lr=&id=CqHqBwAAQBAJ&oi=fnd&pg=PA1&dq=Dynamical+systems+physics&ots=hQjxf71Eoj&sig=TkZX50Y9AplnW0vnz0FIvq1lgNg#v=onepage&q&f=false[/nota]).
Tuttavia è chiaro[nota]per quanto possa essere chiaro lavorare in insiemi infiniti[/nota] che, se \(\displaystyle B=\{1, 10, \frac{1}{10}, 100...\} \) è una base, \(\displaystyle C=B\cup \{2^{3245}\} \) non è una base, è qualcosa di più di una base. E allora non possiamo dire che \(\displaystyle C \) è un insieme di generatori?[/ot]
[ot]No, sphyr, ti stai imbrogliando tra vettori e scalari;
se indico \(\displaystyle\underline{v}_n=10^n\) con \(\displaystyle n\in\mathbb{Z}\), ottengo che \(\displaystyle\forall n\in\mathbb{Z},\,\underline{v}_n=10^n\underline{v}_0\)... pensaci un po'![/ot]
se indico \(\displaystyle\underline{v}_n=10^n\) con \(\displaystyle n\in\mathbb{Z}\), ottengo che \(\displaystyle\forall n\in\mathbb{Z},\,\underline{v}_n=10^n\underline{v}_0\)... pensaci un po'![/ot]
@dissoance
Grazie, sai sempre come rispondermi
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