Paracompattezza di spazi metrici separabili

[otta96]

Conoscete per caso una dimostrazione della paracompattezza degli spazi metrici separabili?
So che ogni spazio metrico è paracompatto ma la dimostrazione è abbastanza difficile, volevo sapere se per gli spazi separabili ce ne fosse una particolarmente più semplice. Anche perché mi sembra di aver letto che nell'articolo in cui ha introdotto la paracompattezza, Dieudonnè avesse dimostrato proprio questa cosa, lasciando aperto il caso generale, ma non saprei come consultare quell'articolo e non so nemmeno se ci capirei qualcosa.

[j18eos]

Non conosco (ancòra) bene la paracompattezza; ma ho trovato questa dimostrazione del caso generale, che però usa l'assioma del buon ordinamento.

[fmnq]

Ti sta antipatico l'assioma della scelta, o c'è un motivo particolare per cui gli spazi li vuoi separabili? https://ncatlab.org/nlab/show/metric+sp ... aracompact

[otta96]

"arnett":Gli spazi regolari di Lindelöf sono paracompatti, non è difficile da dimostrare

Te come lo dimostri? Ce l'ho presente questa cosa ma non è proprio immediata la dimostrazione.

[otta96]

"j18eos":Non conosco (ancòra) bene la paracompattezza; ma ho trovato questa dimostrazione del caso generale, che però usa l'assioma del buon ordinamento.

Grazie ma conoscevo già questa dimostrazione. Forse questa dimostrazione si semplifica molto nel caso di spazi separabili perchè per il teorema di Lindeloff posso prendere un sottoricoprimento numerabile, ma mi sta fatica controllare

"fmnq":Ti sta antipatico l'assioma della scelta, o c'è un motivo particolare per cui gli spazi li vuoi separabili?

No, è solo che mi piace cercare delle dimostrazioni più facili in dei casi particolare in cui penso che sia ragionevole aspettarsi che ci sia una dimostrazione più semplice, senza per forza ricorrere alla piena potenza di risultati più generali.

[fmnq]

Non si sa mai. Di questi tempi in cui un assioma in meno ti fa apparire un miscredente...

[otta96]

Visto che hai tirato fuori l'argomento, si sa se la paracompattezza degli spazi metrici è indimostrabile in ZF?

[j18eos]

@fmnq [ot]Lo so che non me l'hai chiesto, ma lo scrivo comunque: AC non mi è antipatico, ma se non lo uso sono sicuro di non creare possibili paradossi! [/ot]

[otta96]

"arnett":Prendi un ricoprimento di aperti di uno spazio $X$, chiamiamolo $\mathcal{O}$. Poi per ogni punto $x$ prendi aperti $U_x$ e $V_x$ tali che $x\inU_x \subset U_x \subset V_x \subset O$ per qualche aperto $O$ del ricoprimento $\mathcal{O}$. Estrai un ricoprimento numerabile dal ricoprimento aperto $\mathcal{U}$ formato dagli $U_x$ e ordinali. Allora se definisci $W_1=V_1$, $W_i=V_i -(\barU_1 \cup ... \cup \barU_{i-1})$ i $W_i$ sono un raffinamento localmente finito di $\mathcal{O}$.

Grazie, una dimostrazione del genere era esattamente quello che speravo di trovare