Paraboloide punto di sella consigli
salve a tutti....
ho un problema riguardo al calcolo del punto di sella di una quadrica (paraboloide) che per quel che ho capito dovrebbe essere indispensabile per trovare il nuovo sistema di riferimento. visto che con "geometricamente sto trovando qualche problema" volevo chiedervi se era possibile calcolarlo analiticamente con derivate parziale o qualcosa di simile.....e nel caso se potevate consigliare qualche pagina dove questo argomento è trattato in modo chiaro.....
grazie.
ho un problema riguardo al calcolo del punto di sella di una quadrica (paraboloide) che per quel che ho capito dovrebbe essere indispensabile per trovare il nuovo sistema di riferimento. visto che con "geometricamente sto trovando qualche problema" volevo chiedervi se era possibile calcolarlo analiticamente con derivate parziale o qualcosa di simile.....e nel caso se potevate consigliare qualche pagina dove questo argomento è trattato in modo chiaro.....
grazie.
Risposte
Geometricamente ti riconduci alla forma canonica della quadrica e da lì vedi subito qual è il <> che è vertice della parabola e dell'iperbole che formano il profilo del paraboloide iperbolico; i calcoli possono complicarsi molto nel caso gli assi principali, che sono le direzioni principali nel punto di sella, non siano ortogonali; analiticamente devi imporre che un certo punto sia stazionario (condizione sullo jacobiano) e che ci sia una direzione lungo la quale la funzione prima cresce e poi descresce e un'altra direzione lungo la quale prima descresce e poi cresce (condizione sull'hessiana). Riferimenti ed esempi in qualunque manuale di analisi 2.
A.
A.
ok...grazie..senti come lo trovo questo punto che condizioni devo imporre.....come lo trovo !?,,,(eliminando una volta un incognita e mi calcolo il vertice di una parabola e poi eliminando l altra incognita per trovare l'iperbole).....!?..
senti un altra cosa......per trovare l'equazione di una superficie del tipo..... un esempio a caso x2+y2+z3-2xy=0 come faccio!?...
cioè esiste una formula tipo quella del piano dove una volta che conosco un vettore ortogonale e un punto del piano conosco la sua equazione cartesiana!?...
nel mio problema mi vengono date delle rette e piani con orientazioni particolari e mi viene chiesto di trovare l'equazione della superfici genarata da questi.....
...
grazie in anticipo
senti un altra cosa......per trovare l'equazione di una superficie del tipo..... un esempio a caso x2+y2+z3-2xy=0 come faccio!?...
cioè esiste una formula tipo quella del piano dove una volta che conosco un vettore ortogonale e un punto del piano conosco la sua equazione cartesiana!?...
nel mio problema mi vengono date delle rette e piani con orientazioni particolari e mi viene chiesto di trovare l'equazione della superfici genarata da questi.....
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grazie in anticipo
per trovare il punto di sella $S$ di un paraboloide iperbolico (o per trovare il vertice $V$ di un paraboloide ellittico) si fa lo stesso procedimento, che ora ti descrivo.
sia $\Omega$ un paraboloide; ha sicuramente un autovalore nullo, $\lambda=0$, a cui è associato un autovettore che chiamiamo $E_0$
$E_0$ rappresenta un piano in $RR^3$ che è parallelo al piano tangente in $S$ a $\Omega$.
per prima cosa andiamo a intersecare $\Omega$ e $E_0$ (banalmente si ricava x o y o z da $E_0$ e la si sostituisce in $\Omega$)
si ottiene cosi un'equazione di 2° grado in 2 incognite, quindi è una conica immaginaria o reale (e di sicuro è una conica a centro), quindi ci calcoliamo il centro C
poi calcoliamo l'equazione dell'asse del paraboloide: i parametri direttori dell'asse sono gli stessi di $E_0$ e poi imponiamo il passaggio dell'asse per C
ora per trovare $S$ (o $V$) facciamo l'intersezione tra l'asse appena trovato e $\Omega$.
sia $\Omega$ un paraboloide; ha sicuramente un autovalore nullo, $\lambda=0$, a cui è associato un autovettore che chiamiamo $E_0$
$E_0$ rappresenta un piano in $RR^3$ che è parallelo al piano tangente in $S$ a $\Omega$.
per prima cosa andiamo a intersecare $\Omega$ e $E_0$ (banalmente si ricava x o y o z da $E_0$ e la si sostituisce in $\Omega$)
si ottiene cosi un'equazione di 2° grado in 2 incognite, quindi è una conica immaginaria o reale (e di sicuro è una conica a centro), quindi ci calcoliamo il centro C
poi calcoliamo l'equazione dell'asse del paraboloide: i parametri direttori dell'asse sono gli stessi di $E_0$ e poi imponiamo il passaggio dell'asse per C
ora per trovare $S$ (o $V$) facciamo l'intersezione tra l'asse appena trovato e $\Omega$.
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