Parabole di vertitce V tangenti a una retta!
buonasera ragazzi 
mi servirebbero aiuti e consigli
con gli esercizi sulle parabole
Ad esempio questi
1 problema [RISOLTO]
2° Problema [RISOLTO]
3° Problema [NON RISOLTO]
mi servirebbero aiuti e consiglicon gli esercizi sulle parabole
Ad esempio questi1 problema [RISOLTO]
Scrivere l’equazione della parabola p avente vertice in V= ($ 1/2, 0, 0 $ ), avente come asse di
simmetria l’ asse x e tangente alla retta di equazione $ z=0=y-x $
2° Problema [RISOLTO]
scrivere l'equazione della parabola $ p $ avente vertice $V=(1,0,0)$, e passante per $ O=(0,0,0)$ ,cn asse parallelo alla retta di equazione $ x+2y=z=0 $
3° Problema [NON RISOLTO]
Determinare la famiglia $F$ di parabole aventi vertice sulla retta di equazione $z=x-y=0 $ e bitangenti alla conica $g$
di equazioni $ z=x^2+y^2-1=0$
Risposte
La parabola è nello spazio, non nel piano. Quindi l'equazione deve dipendere da tre variabili.
grazie della risposta ciamapax 
quindi come dovrei procedere?
quindi come dovrei procedere?
Io dire che, per prima cosa, devi sfruttare le informazioni su vertice e asse: visto che la simmetria è rispetto all'asse delle ascisse, puoi supporre senz'altro che la parabola che ti serve si ottiene come l'intersezione tra un paraboloide con asse quello dato e con vertice il punto $V$ e un piano che passi per tale asse (quindi uno appartenente al fascio di piani per l'asse delle ascisse). A questo punto devi usare le condizioni di tangenza con la retta data per determinare quale sia il piano che ti serve.
scusami ciampax ma nn saprei proprio da dove cominciare
tu potresti illustrarmi i vari passaggi oppure mi puoi consigliare qualche sito o libro dove vengono spiegate queste cose!
Io le ho sempre fatte nel piano ste cose...i paraboloidi li ho ottenuti sempre dallo studio della quadrica
tu potresti illustrarmi i vari passaggi oppure mi puoi consigliare qualche sito o libro dove vengono spiegate queste cose!
Io le ho sempre fatte nel piano ste cose...i paraboloidi li ho ottenuti sempre dallo studio della quadrica
Poiché nel caso tuo è sempre z=0 ( piano xy), puoi continuare a lavorare in tale piano. Per la soluzione puoi far uso del metodo del fascio di coniche o più elementarmente (come hai iniziato tu) facendo riferimento alla parabola di equazione $x=ay^2+by+c$. Devi però tener presente che in questo caso le coordinate del vertice sono invertite :$V=(-{Delta}/{4a},-b/{2a})$
Imponendo il passaggio per $(1/2,0)$ ed eguagliando a zero l'ordinata del vertice, si ha il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} \frac{1}{2}=c\\-\frac{b}{2a}=0\end{cases} \)
da cui : $b=0, c=1/2$
E dunque le equazioni della parabola diventano :
\(\displaystyle \begin{cases}x=ay^2+\frac{1}{2}\\z=0\end{cases} \)
Ti resta da trovare il coefficiente a e questo lo realizzi imponendo la tangenza alla retta \begin{cases}z=0\\y=x\end{cases}
Dovrebbe risultare $a=1/2$
Imponendo il passaggio per $(1/2,0)$ ed eguagliando a zero l'ordinata del vertice, si ha il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} \frac{1}{2}=c\\-\frac{b}{2a}=0\end{cases} \)
da cui : $b=0, c=1/2$
E dunque le equazioni della parabola diventano :
\(\displaystyle \begin{cases}x=ay^2+\frac{1}{2}\\z=0\end{cases} \)
Ti resta da trovare il coefficiente a e questo lo realizzi imponendo la tangenza alla retta \begin{cases}z=0\\y=x\end{cases}
Dovrebbe risultare $a=1/2$
graziieeeee mille ciromario adesso risulta 
posso continuare a postare in questo post se ho altri problemi?ho trovato esercizi in cui l'asse di simmetria è parallelo ad una retta e nn più agli assi cartesiani!domani provo a farli
posso continuare a postare in questo post se ho altri problemi?ho trovato esercizi in cui l'asse di simmetria è parallelo ad una retta e nn più agli assi cartesiani!domani provo a farli
stamattina ho provato a fare questo esercizio:
il procedimento nn è complicato(ho visto la soluzione),volevo sapere da dove deriva questa condizione che viene imposta:
E inoltre se l'asse di simmetria n0n era parallelo a quella retta ma era proprio quella retta?
grazie ancora
scrivere l'equazione della parabola $ p $ avente vertice $V=(1,0,0)$, e passante per $ O=(0,0,0)$ ,cn asse parallelo alla retta di equazione $ x+2y=z=0 $
il procedimento nn è complicato(ho visto la soluzione),volevo sapere da dove deriva questa condizione che viene imposta:
Le parabole aventi asse di simmetria parallelo alla retta di equazione $ x+2y=z=0 $ hanno equazione della forma $ z=0=(x+2y)^2+ax+by+c $
E inoltre se l'asse di simmetria n0n era parallelo a quella retta ma era proprio quella retta?
grazie ancora
altro problema xD
devo trovare le 3 condizione che mi danno la parabola!
la prima la posso trovare considerando che il vertice $ V=(Xv,Yv)=( -b/(2a),(-b^2+4ac)/(4a))$ sta sulla retta $z=x-y=0 $ che quindi posso scrivere $ -b/(2a)=(-b^2+4ac)/(4a) $ le altre condizioni da dove le ottengo? grazie
Determinare la famiglia $F$ di parabole aventi vertice sulla retta di equazione $z=x-y=0 $ e bitangenti alla conica $g$
di equazioni $ z=x^2+y^2-1=0$
devo trovare le 3 condizione che mi danno la parabola!
la prima la posso trovare considerando che il vertice $ V=(Xv,Yv)=( -b/(2a),(-b^2+4ac)/(4a))$ sta sulla retta $z=x-y=0 $ che quindi posso scrivere $ -b/(2a)=(-b^2+4ac)/(4a) $ le altre condizioni da dove le ottengo? grazie
Problema 2
Anche in questo caso le operazioni si svolgono nel piano xy ( z=0 ) e quindi possiamo fare a meno della notazione a 3 dimensioni. Alla fine dei calcoli aggiungeremo l'equazione z=0. In questo caso dobbiamo far ricorso al metodo dei fasci di coniche. Le nostre parabole hanno per asse la retta passante per V(1,0) e parallela alla retta data x+2y=0. Quest'asse ha quindi equazione : (x-1)+2(y-0)=0 , ovvero x+2y-1=0. Il punto improprio di tale asse $ R_{infty}(2,-1,0) $ ed ivi la parabola risulta tangente alla retta impropria del piano xy di equazione $R_{infty}R_{infty}: t=0 $ [indico con (x,y,t) le coordinate proiettive nel piano xy]. Inoltre nel punto V la parabola è tangente alla retta perpendicolare all'asse della parabola, perpendicolare che ha equazione: 2(x-1)-1(y-0)=0, ovvero $ VV : 2x-y-2=0$. Abbiamo quindi disponibili quattro punti ( a due a due coincidenti ) con i quali possiamo scrivere il fascio di coniche che ci interessa. Usando coordinate proiettive (x,y,t) questi punti sono :
$V(1,0,1),V(1,0,1),$
$R_{infty}(2,-1,0),R_{infty}(2,-1,0)$
Simbolicamente l'equazione del fascio di coniche passanti per questi punti è :
$lambda ( R_{infty}R_{infty} cdot VV )+mu (VR_{infty} cdot V R_{infty}) =0$
Ovvero , facendo qualche calcolo :
(1) $lambda t(2x-y-2)+mu (x+2y-1)^2=0$
che è del tipo indicato nella consegna.
Imponendo il passaggio per O(0,0) si ha :
$mu=2 lambda$
Sostituendo nella (1) si hanno le equazioni della parabola che si chiede :
\(\displaystyle \begin{cases}2(x+2y-1)^2+(2x-y-2)=0\\z=0\end{cases} \)
Anche in questo caso le operazioni si svolgono nel piano xy ( z=0 ) e quindi possiamo fare a meno della notazione a 3 dimensioni. Alla fine dei calcoli aggiungeremo l'equazione z=0. In questo caso dobbiamo far ricorso al metodo dei fasci di coniche. Le nostre parabole hanno per asse la retta passante per V(1,0) e parallela alla retta data x+2y=0. Quest'asse ha quindi equazione : (x-1)+2(y-0)=0 , ovvero x+2y-1=0. Il punto improprio di tale asse $ R_{infty}(2,-1,0) $ ed ivi la parabola risulta tangente alla retta impropria del piano xy di equazione $R_{infty}R_{infty}: t=0 $ [indico con (x,y,t) le coordinate proiettive nel piano xy]. Inoltre nel punto V la parabola è tangente alla retta perpendicolare all'asse della parabola, perpendicolare che ha equazione: 2(x-1)-1(y-0)=0, ovvero $ VV : 2x-y-2=0$. Abbiamo quindi disponibili quattro punti ( a due a due coincidenti ) con i quali possiamo scrivere il fascio di coniche che ci interessa. Usando coordinate proiettive (x,y,t) questi punti sono :
$V(1,0,1),V(1,0,1),$
$R_{infty}(2,-1,0),R_{infty}(2,-1,0)$
Simbolicamente l'equazione del fascio di coniche passanti per questi punti è :
$lambda ( R_{infty}R_{infty} cdot VV )+mu (VR_{infty} cdot V R_{infty}) =0$
Ovvero , facendo qualche calcolo :
(1) $lambda t(2x-y-2)+mu (x+2y-1)^2=0$
che è del tipo indicato nella consegna.
Imponendo il passaggio per O(0,0) si ha :
$mu=2 lambda$
Sostituendo nella (1) si hanno le equazioni della parabola che si chiede :
\(\displaystyle \begin{cases}2(x+2y-1)^2+(2x-y-2)=0\\z=0\end{cases} \)
grazie ancora ciromario,troppo gentile
Lo stesso problema sn riuscito a risolverlo con un metodo diverso!
1)ho scritto l'equazione della generica parabola avente asse di simmetria parallelo alla retta di equazione$ x+2y=z=0 $ e che quindi ha equazione della forma $z=0=(x+2y)^2+ax+by+c$
2)ho imposto il passaggio per $V$ e per $O$ trovando i valori di $a$ e $c$!
3)ho scritto l'equazione della retta tangente alla conica in $V$
4) Ho posto la condizione di ortogonalità tra questa retta e la retta $ x+2y=z=0 $ trovando il valore di $b$
5)sostituendo $a,b,c$ nell'equazione del punto 1,ho trovato la parabola!
Adesso studio anche il metodo che mi ha scritto tu,che penso sia quello più generico per affrontare questi tipo di problema
Mentre per il 3 problema,ancora niente
Lo stesso problema sn riuscito a risolverlo con un metodo diverso!
1)ho scritto l'equazione della generica parabola avente asse di simmetria parallelo alla retta di equazione$ x+2y=z=0 $ e che quindi ha equazione della forma $z=0=(x+2y)^2+ax+by+c$
2)ho imposto il passaggio per $V$ e per $O$ trovando i valori di $a$ e $c$!
3)ho scritto l'equazione della retta tangente alla conica in $V$
4) Ho posto la condizione di ortogonalità tra questa retta e la retta $ x+2y=z=0 $ trovando il valore di $b$
5)sostituendo $a,b,c$ nell'equazione del punto 1,ho trovato la parabola!
Adesso studio anche il metodo che mi ha scritto tu,che penso sia quello più generico per affrontare questi tipo di problema
Mentre per il 3 problema,ancora niente
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