Parabola: distingure tra fuoco e direttrice
ciao a tutti,
Il problema è il seguente: in un esercizio mi viene chiesto partendo dall'equazione di una parabola generica $(x-y)^2+x+y-2=0$ di trovare un'equazione canonica, vertice, fuoco e asse di simmetria. Ho trovato il vertice: $V=(1,1)$, l'asse di simmetria: $x-y=0$, un'equazione canonica $2y^2=\pm sqrt(2)x $, ora devo trovare il fuoco: faccio l'intersezione tra la circonferenza di centro V e di raggio $p/2=sqrt(2)/8$ (distanza tra fuoco e vertice) con l'asse nel vecchio sitema di riferimento$ x-y=0$ e trovo due punti: $A=(7/8,7/8)$ e $B=(9/8,9/8)$ come faccio a distingure quale dei due è il fuoco e quale dei due è un punto appartenente alla direttrice?
Il problema è il seguente: in un esercizio mi viene chiesto partendo dall'equazione di una parabola generica $(x-y)^2+x+y-2=0$ di trovare un'equazione canonica, vertice, fuoco e asse di simmetria. Ho trovato il vertice: $V=(1,1)$, l'asse di simmetria: $x-y=0$, un'equazione canonica $2y^2=\pm sqrt(2)x $, ora devo trovare il fuoco: faccio l'intersezione tra la circonferenza di centro V e di raggio $p/2=sqrt(2)/8$ (distanza tra fuoco e vertice) con l'asse nel vecchio sitema di riferimento$ x-y=0$ e trovo due punti: $A=(7/8,7/8)$ e $B=(9/8,9/8)$ come faccio a distingure quale dei due è il fuoco e quale dei due è un punto appartenente alla direttrice?
Risposte
Non ho controllato i tuoi conti.
Se ho capito bene il problema, ti basta sapere che dal fuoco non puoi tracciare le rette tangenti alla parabola (o meglio, puoi farlo ma tali retta sono complesse coniugate).
Per l'altro punto invece sì.
Se ho capito bene il problema, ti basta sapere che dal fuoco non puoi tracciare le rette tangenti alla parabola (o meglio, puoi farlo ma tali retta sono complesse coniugate).
Per l'altro punto invece sì.
Ma quindi non c'è un metodo alternativo più veloce...? devo per forza trovarmi la tangente?
Se conosci il concetto di polare di un punto, puoi ricordare che dato un punto $P$ non appartenente alla parabola (e, in generale, alla conica di rango $3$), l'intersezione della polare di $P$ con la parabola è costituita da due punti $A$ e $B$, tali che $[P,A]$ e $[P,B]$* sono le rette per $P$ tangenti alla parabola.
Il fuoco sarà quel punto per cui i punti $A$ e $B$ sono complessi coniugati. Per l'altro punto i corrispondenti $A$ e $B$ sono reali.
* Ho indicato con $[P,A]$ e $[P,B]$ le rette congiungenti $P$, $A$ e $P$, $B$ rispettivamente.
Il fuoco sarà quel punto per cui i punti $A$ e $B$ sono complessi coniugati. Per l'altro punto i corrispondenti $A$ e $B$ sono reali.
* Ho indicato con $[P,A]$ e $[P,B]$ le rette congiungenti $P$, $A$ e $P$, $B$ rispettivamente.
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