Parabola - discussione grafica
[modifico]
Vi propongo anche quest'altro problema:
${(x=y^2-7y+6), (kx +(1-k)y=0), (y<=0):}$
Bisogna trovare i valori di $k$ per i quali il fascio di rette interseca la parabola distinguendo l'insieme dei $k$ per i quali c'è solo un punto d'intersezione e l'insieme dei $k$ per i quali ci son due punti di intersezione.
In teoria la consegna del primo problema è la stessa del secondo...
E poi ho un problema basilare sulla concezione di parabola...
Dato un punto stabilito esterno alla parabola esiste sempre ed è unica la tangente per quel punto alla parabola?
E nel caso una retta di un fascio di rette è tangente alla parabola in uno dei suoi rami, e non posso determinarmi il punto "limite" di intersezione con l'altro ramo; le soluzioni vanno dal valore di $k$ d'intersezione col primo punto a $oo$ o $-oo$ a seconda del caso?
Vi prego, purtroppo non potendo vedere i limiti della parabola per me questo è un argomento un po' ostico.
Vi propongo anche quest'altro problema:
${(x=y^2-7y+6), (kx +(1-k)y=0), (y<=0):}$
Bisogna trovare i valori di $k$ per i quali il fascio di rette interseca la parabola distinguendo l'insieme dei $k$ per i quali c'è solo un punto d'intersezione e l'insieme dei $k$ per i quali ci son due punti di intersezione.
In teoria la consegna del primo problema è la stessa del secondo...
E poi ho un problema basilare sulla concezione di parabola...
Dato un punto stabilito esterno alla parabola esiste sempre ed è unica la tangente per quel punto alla parabola?
E nel caso una retta di un fascio di rette è tangente alla parabola in uno dei suoi rami, e non posso determinarmi il punto "limite" di intersezione con l'altro ramo; le soluzioni vanno dal valore di $k$ d'intersezione col primo punto a $oo$ o $-oo$ a seconda del caso?
Vi prego, purtroppo non potendo vedere i limiti della parabola per me questo è un argomento un po' ostico.
Risposte
Uppo, perchè domani ho compito U.u. Allora il primo problema l'ho tolto perchè non era un argomento studiato.
Ora provo a rifare il secondo a mente fresca, ringrazio in anticipo chi mi aiuta.
Ora provo a rifare il secondo a mente fresca, ringrazio in anticipo chi mi aiuta.
Per quanto riguarda il problema, si tratta semplicemente di risolvere il sistema non-lineare dato.
${(x = y^2 - 7y + 6),(kx + (1 - k)y),(y <= 0):}$
Dalla seconda equazione, supponendo $k != 0$, si può ricavare $x = (k-1)/k y$ che può essere sostituito nella prima equazione ottenendo
$y^2 - (7 + (k-1)/k)y + 6$.
A questo punto dovresti riuscire a concludere per quali valori di $k$ ci sono due soluzioni e per quali valori di $k$ ce n'è solo una. Rimane da studiare il caso $k=0$. In questo caso si ottiene $0x + (1 - 0)y = 0$, cioè $y = 0$ da cui $x = 6$. Per cui si ha un solo punto di intersezione.
Credo che un disegno possa essere utile quando si hanno questi dubbi, per guidare l'intuizione. I "limiti" ti saranno forse un giorno chiari quando imparerai a lavorare nel piano proiettivo.
${(x = y^2 - 7y + 6),(kx + (1 - k)y),(y <= 0):}$
Dalla seconda equazione, supponendo $k != 0$, si può ricavare $x = (k-1)/k y$ che può essere sostituito nella prima equazione ottenendo
$y^2 - (7 + (k-1)/k)y + 6$.
A questo punto dovresti riuscire a concludere per quali valori di $k$ ci sono due soluzioni e per quali valori di $k$ ce n'è solo una. Rimane da studiare il caso $k=0$. In questo caso si ottiene $0x + (1 - 0)y = 0$, cioè $y = 0$ da cui $x = 6$. Per cui si ha un solo punto di intersezione.
Credo che un disegno possa essere utile quando si hanno questi dubbi, per guidare l'intuizione. I "limiti" ti saranno forse un giorno chiari quando imparerai a lavorare nel piano proiettivo.
Ho fatto il disegno, solo che continuo a non capire come prendere le soluzioni. La retta del fascio tangente alla parabola non la interseca in punto appartenente alla limitazione, quindi non saprei dove porre l'altro limite.
Un limite è $k=0$ sicuramente. L'altro come lo posso prendere?
Un limite è $k=0$ sicuramente. L'altro come lo posso prendere?
Se non riesci a visualizzare il problema puoi sempre comprenderlo con i calcoli. Che cosa ti dice la soluzione di quel sistema?
Ok, ora ho capito... grazie per gli aiuti..
Mi viene 1 soluzione per $k = 0$ (la generatrice del fascio)
e 2 soluzioni per $k in ]0; (4-sqrt(6))/20[$
Ho pensato che ogni retta non tangente alla parabola e non parallela al suo asse, se la interseca in un punto la intersecherà anche in un altro. Anche se l'intersezione con la tangente non rientra nei limiti, deduco che la tangente sia un limite perchè se interseca la parabola in punto vuol dire che tutte le rette più inclinate in un verso non la intersecheranno e tutte quelle più inclinate nell'altro verso la intersecheranno due volte.
Ma un dubbio rimane.. Sulle soluzioni include il $k$ della tangente tra i valori di $k$ con due soluzioni.
Eppure interseca la parabola una sola volta (in un punto non compreso nella limitazione).
Mi viene 1 soluzione per $k = 0$ (la generatrice del fascio)
e 2 soluzioni per $k in ]0; (4-sqrt(6))/20[$
Ho pensato che ogni retta non tangente alla parabola e non parallela al suo asse, se la interseca in un punto la intersecherà anche in un altro. Anche se l'intersezione con la tangente non rientra nei limiti, deduco che la tangente sia un limite perchè se interseca la parabola in punto vuol dire che tutte le rette più inclinate in un verso non la intersecheranno e tutte quelle più inclinate nell'altro verso la intersecheranno due volte.
Ma un dubbio rimane.. Sulle soluzioni include il $k$ della tangente tra i valori di $k$ con due soluzioni.
Eppure interseca la parabola una sola volta (in un punto non compreso nella limitazione).
Probabilmente considera la molteplicità dei punti di intersezione. Il punto corrispondente a $k = 0$ ha molteplicità uguale a $1$, mentre quello corrispondente alla tangente ha molteplicità uguale a $2$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo