Parabola
Per un vertice, ovviamente, passano infinite parabole. Lo si vede subito graficamente. Allora perchè conoscendo SOLO il vertice sono in grado di impostare TRE EQUAZIONI, sufficienti per trovarmi le tre variabili a,b,c che identifica la parabola di eq. $ax^2+bx+c=y$?
Esempio Vertice (1,2)
PRIMA EQUAZIONE. Il vertice appartiene alla curva:
(1) $a+b+c=2$
SECONDA EQUAZIONE. x vertice
(2) $- b/(2a)=1$
TERZA EQUAZIONE. y vertice
(3) $ (b^2-4ac)/(4a)=2$
Sono tre equazioni no? Sufficienti per trovarmi a,b,c. Quindi per un vertice dovrebbe passare una sola parabola...e non infinite...quel sistema è risolvibile...:S
Esempio Vertice (1,2)
PRIMA EQUAZIONE. Il vertice appartiene alla curva:
(1) $a+b+c=2$
SECONDA EQUAZIONE. x vertice
(2) $- b/(2a)=1$
TERZA EQUAZIONE. y vertice
(3) $ (b^2-4ac)/(4a)=2$
Sono tre equazioni no? Sufficienti per trovarmi a,b,c. Quindi per un vertice dovrebbe passare una sola parabola...e non infinite...quel sistema è risolvibile...:S
Risposte
La terza equazione e' sbagliata, l'ordinata del vertice e' [tex]\frac{4ac-b^2}{4a}[/tex]. Quel sistema non ha un'unica soluzione perche' le tre equazioni sono dipendenti, in altre parole una loro opportuna combinazione lineare fa zero. Prova a pensarci 
Non capisco bene...segno a parte, ho un sistema di 3 equazioni corrette e mi viene un risultato sbagliato...
Non capisco cosa c'è di sbagliato nel mio ragionamento...
Non capisco cosa c'è di sbagliato nel mio ragionamento...
${( a+b+c=2),(- b/(2a)=1),((4ac-b^2)/(4a)=2):}=> {(c=2-a-b),(b=-2a),(c-b^2/(4a)=2):}=> {(c=2-a+2a),(b=-2a),(c-a=2):}=>{(c=2+a),(b=-2a),(c=2+a):}$
Come vedi, la prima e la terza equazione sono diventate identiche. Quindi ci sono infinite soluzioni
Come vedi, la prima e la terza equazione sono diventate identiche. Quindi ci sono infinite soluzioni
Per tutti gli x appartenenti ad R!!!! Come può accadere una cosa simile...sono equazioni diverse tra loro....ma alla fine due si equivalgono...non riesco a credere ai miei occhi...O_O
"newton_1372":Fantstica questa
Per tutti gli $x$ appartenenti ad $RR$
Si equivalgono perchè, come ha detto Martino
"Martino":
Quel sistema non ha un'unica soluzione perche' le tre equazioni sono dipendenti
Ma scusa, anche [tex]a=0[/tex], [tex]b=0[/tex] e [tex]a+b=0[/tex] sono tre equazioni diverse, eppure la terza e' una conseguenza banale delle prime due. Non capisco di cosa ti sorprendi 
Volete dire che la prima equazione in qualche modo "implica" la terza? Cioè che
$a+b+c=2\Rightarrow (4ac-b^2)/(4a)=2$?
$a+b+c=2\Rightarrow (4ac-b^2)/(4a)=2$?
Piuttosto, che la prima e la seconda "implicano" la terza
TEOREMA
$a+b+c=2$ e $b=-2a\Rightarrow (4ac-b^2)/(4a)=2$
DIMOSTRAZIONE
Dall'ipotesi 1 e 2 combinate si ha $a+b+c=a-2a+c=c-a=2\Rightarrow c=a+2$
$(4ac-b^2)/(4a)=(4a(a+2)-4a^2)/(4a)=(8a)/(4a)=2$
$\square\square\square$
Ora ho capito!:)
$a+b+c=2$ e $b=-2a\Rightarrow (4ac-b^2)/(4a)=2$
DIMOSTRAZIONE
Dall'ipotesi 1 e 2 combinate si ha $a+b+c=a-2a+c=c-a=2\Rightarrow c=a+2$
$(4ac-b^2)/(4a)=(4a(a+2)-4a^2)/(4a)=(8a)/(4a)=2$
$\square\square\square$
Ora ho capito!:)
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