\(\overline{\Bbb{R}}\) (non) è un intorno di \( x \in \{+\infty,-\infty\}\) ?!
Salve a tutti,
scrivo il topic più per capire alcune cose che mi sfuggono, studio topologia di base per inquadrare meglio alcune cose di analisi ma ci sono alcune cose che mi sfuggono e una di queste è se "\(\overline{\Bbb{R}}\) (non) è un intorno di \( x \in \{+\infty,-\infty\}\) ?!"; in particolare la def. di intorno la si da avendo a priori uno spazio topologico ed è:
Def. 1: siano dati \( (a, \tau)\) uno spazio topologico, ed \( x \subseteq a\) e \(c \in a\), allora \( x \) è intorno di \( c \) rispetto ad \((a, \tau)\) se $$\exists z \in \tau(c \in z \subseteq x)$$suppongo di avere \((\overline{\Bbb{R}}, \mu)\) uno spazio topologico, mi sembra banale che \( \overline{\Bbb{R}}\) è intorno rispetto ad \((\overline{\Bbb{R}}, \mu)\) di ogni suo punto... non capisco però come mai in tutti i testi di analisi gli intorni di \(-\infty\) e \( +\infty\) sono solo gli insiemi, rispettivamente, \( [-\infty,b] \) e \( [b,+\infty]\) con \( b \in \Bbb{R}\) (senza includere \(\overline{\Bbb{R}}=[-\infty,+\infty]\))... cosa mi sfugge? Ringrazio a priori per qualsiasi delucidazione!
scrivo il topic più per capire alcune cose che mi sfuggono, studio topologia di base per inquadrare meglio alcune cose di analisi ma ci sono alcune cose che mi sfuggono e una di queste è se "\(\overline{\Bbb{R}}\) (non) è un intorno di \( x \in \{+\infty,-\infty\}\) ?!"; in particolare la def. di intorno la si da avendo a priori uno spazio topologico ed è:
Def. 1: siano dati \( (a, \tau)\) uno spazio topologico, ed \( x \subseteq a\) e \(c \in a\), allora \( x \) è intorno di \( c \) rispetto ad \((a, \tau)\) se $$\exists z \in \tau(c \in z \subseteq x)$$suppongo di avere \((\overline{\Bbb{R}}, \mu)\) uno spazio topologico, mi sembra banale che \( \overline{\Bbb{R}}\) è intorno rispetto ad \((\overline{\Bbb{R}}, \mu)\) di ogni suo punto... non capisco però come mai in tutti i testi di analisi gli intorni di \(-\infty\) e \( +\infty\) sono solo gli insiemi, rispettivamente, \( [-\infty,b] \) e \( [b,+\infty]\) con \( b \in \Bbb{R}\) (senza includere \(\overline{\Bbb{R}}=[-\infty,+\infty]\))... cosa mi sfugge? Ringrazio a priori per qualsiasi delucidazione!
Risposte
Non ti sfugge niente, è solo che si tratta di un intorno banale, quindi spesso e volentieri non lo si scrive, un po' come nel definire una topologia spesso non vi si inserisce \(\emptyset\) dandolo per scontato.
Comunque \(\mu\) è una scelta piuttosto infelice per indicare una topologia, è una notazione che di solito si usa in altri contesti (spazi con misura) in cui può crearsi una certa ambiguità con la topologia dell'insieme "ambiente".
Comunque \(\mu\) è una scelta piuttosto infelice per indicare una topologia, è una notazione che di solito si usa in altri contesti (spazi con misura) in cui può crearsi una certa ambiguità con la topologia dell'insieme "ambiente".
@Epimenide93, capito.. thanks il chiarimento 
"Epimenide93":si vero hai ragione, meglio \(\tau\)?!
Comunque \(\mu\) è una scelta piuttosto infelice per indicare una topologia, è una notazione che di solito si usa in altri contesti (spazi con misura) in cui può crearsi una certa ambiguità con la topologia dell'insieme "ambiente".
Certo, è una scelta piuttosto standard. Direi che nei limiti del buon senso va bene tutto, solo che \(\mu\) convenzionalmente è una prerogativa dei contesti con misura, argomento che ha intersezione non nulla con la topologia, quindi è una scelta che può dar luogo ad ambiguità. Un po' per lo stesso motivo per cui è meglio non usare \(i\) per gli indici generici se si lavora nei complessi.
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