Osservazione su Sottospazi Topologici

[Frizz1]

Leggendo il Sernesi 2 (Capitolo 2 - Paragrafo 5) ho trovato la seguente frase: "...come abbiamo già osservato nel caso degli spazi metrizzabili, dal fatto che un sottoinsieme B di S sia aperto in S non segue necessariamente che B è aperto in X." (S⊂X). Chi mi può fare un esempio dove B sia aperto in S e chiuso in X? Grazie.

[_prime_number]

Premettendo che in topologia non esistono solamente aperti o chiusi (ma anche insiemi che non sono nessuno dei due), devi considerare ad esempio la topologia indotta: se $(X,\tau)$ è spazio topologico e $S\subset X$, si può definire in modo naturale una topologia $\tau'$ su $S$ così: $\tau'=\{ A\cap S : A\in\tau\}$.
Alla luce di ciò, il controesempio che cerchi è facile da creare: ad esempio, preso $X=\mathbb{R}$ con la topologia euclidea e $S=[0,1]$, un aperto di $S$ è, ad esempio, $(1/2, 1]= S\cap (1/2, 2)$, e chiaramente non è un aperto di $X$.

Paola

[Frizz1]

Grazie mille...