Ortonormalizzare con Gram-Schmidt la seguente base.....
Ciao ragazzi, ho un esercizio di Geometria B che proprio non viene. Eccovelo:
Ortonormalizzare con il procedimento di Gram-Schmidt la seguente base di R^4, dotato del prodotto scalare dato dalla matrice A=((2,0,0,0),(0,1,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,2)) : Base=((0,0,0,1),(1,0,0,-1),(0,2,0,0),(0,0,-1,0)).
La risposta è: La base ortonormale cercata cercata è:(0,0,0,1/√2),(1/√2,0,0,0),(0,2/√2,0,-1/√2),(0,0,-1,0).
Ora io ho provato ad applicare Gram-Schmidt ma solo con la base e ovviamente non mi risulta. Non capisco come si usa la matrice A e con cosa si moltiplica. Ho provato a guardare migliaia di esercizi....ma ce ne fosse stato uno uguale a questo!?!? Grazie a chi risponderà.
Ortonormalizzare con il procedimento di Gram-Schmidt la seguente base di R^4, dotato del prodotto scalare dato dalla matrice A=((2,0,0,0),(0,1,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,2)) : Base=((0,0,0,1),(1,0,0,-1),(0,2,0,0),(0,0,-1,0)).
La risposta è: La base ortonormale cercata cercata è:(0,0,0,1/√2),(1/√2,0,0,0),(0,2/√2,0,-1/√2),(0,0,-1,0).
Ora io ho provato ad applicare Gram-Schmidt ma solo con la base e ovviamente non mi risulta. Non capisco come si usa la matrice A e con cosa si moltiplica. Ho provato a guardare migliaia di esercizi....ma ce ne fosse stato uno uguale a questo!?!? Grazie a chi risponderà.
Risposte
Riscriviamo la matrice A:
$A = ((2,0,0,0),(0,1,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,2))$
Se $\bbX$ e $\bb Y$ sono due vettori di $RR^4$ il loro prodotto scalare è:
$\bbX^T\ \bb A \ \bb Y = 2x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+2x_4y_4+x_2y_4+x_4y_2$
Adesso andiamo con Gram-Schmidt:
$\bb v_1 = \bb b_1 = (0,0,0,1)$
$\bb v_2 = \bb b_2 - (<\bb b_2,\bb v_1 >)/(<\bb v_1,\bb v_1 >) \bb v_1 $
e il prodotto scalare lo calcoliamo con l'espressione scritta sopra.
Quindi sarà:
$<\bb b_2,\bb v_1 > = -2 $
$<\bb v_1,\bb v_1 > = 2$
$\bb v_2 = \bb b_2 - (<\bb b_2,\bb v_1 >)/(<\bb v_1,\bb v_1 >) \bb v_1 = \bb b_2 + \bb v_1 = (1,0,0,-1)+ (0,0,0,1) = (1,0,0,0)$
e così via, usando il metodo di Gram-Schmidt.
Poi attenzione ! Bisogna normalizzare secondo il prodotto scalare dato, quindi ad esempio:
$\bb \hat v_1 = (\bb v_1)/(\sqrt(<\bb v_1,\bb v_1 >)) = (\bb v_1)/(\sqrt2 ) = (0,0,0,1/\sqrt2)$
che coincide col primo vettore del risultato.
... e così per gli altri.
$A = ((2,0,0,0),(0,1,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,2))$
Se $\bbX$ e $\bb Y$ sono due vettori di $RR^4$ il loro prodotto scalare è:
$\bbX^T\ \bb A \ \bb Y = 2x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+2x_4y_4+x_2y_4+x_4y_2$
Adesso andiamo con Gram-Schmidt:
$\bb v_1 = \bb b_1 = (0,0,0,1)$
$\bb v_2 = \bb b_2 - (<\bb b_2,\bb v_1 >)/(<\bb v_1,\bb v_1 >) \bb v_1 $
e il prodotto scalare lo calcoliamo con l'espressione scritta sopra.
Quindi sarà:
$<\bb b_2,\bb v_1 > = -2 $
$<\bb v_1,\bb v_1 > = 2$
$\bb v_2 = \bb b_2 - (<\bb b_2,\bb v_1 >)/(<\bb v_1,\bb v_1 >) \bb v_1 = \bb b_2 + \bb v_1 = (1,0,0,-1)+ (0,0,0,1) = (1,0,0,0)$
e così via, usando il metodo di Gram-Schmidt.
Poi attenzione ! Bisogna normalizzare secondo il prodotto scalare dato, quindi ad esempio:
$\bb \hat v_1 = (\bb v_1)/(\sqrt(<\bb v_1,\bb v_1 >)) = (\bb v_1)/(\sqrt2 ) = (0,0,0,1/\sqrt2)$
che coincide col primo vettore del risultato.
... e così per gli altri.
Inanzitutto ti ringrazio per la risposta. C'è un problema però, avevo provato a fare in questo modo ieri sera ma mentre v1 e v2 mi vengono, il v3 non mi risulta. Faccio vedere come ho fatto che è molto probabile abbia sbagliato.
v3 = b3 - (/) * v1 - (/) * v2 = (0,2,0,0). Perché??
v3 = b3 - (
"Quinzio":
Riscriviamo la matrice A:
$A = ((2,0,0,0),(0,1,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,2))$
Se $\bbX$ e $\bb Y$ sono due vettori di $RR^4$ il loro prodotto scalare è:
$\bbX^T\ \bb A \ \bb Y = 2x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+2x_4y_4+x_2y_4+x_4y_2$
Adesso andiamo con Gram-Schmidt:
$\bb v_1 = \bb b_1 = (0,0,0,1)$
$\bb v_2 = \bb b_2 - (<\bb b_2,\bb v_1 >)/(<\bb v_1,\bb v_1 >) \bb v_1 $
e il prodotto scalare lo calcoliamo con l'espressione scritta sopra.
Quindi sarà:
$<\bb b_2,\bb v_1 > = -2 $
$<\bb v_1,\bb v_1 > = 2$
$\bb v_2 = \bb b_2 - (<\bb b_2,\bb v_1 >)/(<\bb v_1,\bb v_1 >) \bb v_1 = \bb b_2 + \bb v_1 = (1,0,0,-1)+ (0,0,0,1) = (1,0,0,0)$
e così via, usando il metodo di Gram-Schmidt.
Poi attenzione ! Bisogna normalizzare secondo il prodotto scalare dato, quindi ad esempio:
$\bb \hat v_1 = (\bb v_1)/(\sqrt(<\bb v_1,\bb v_1 >)) = (\bb v_1)/(\sqrt2 ) = (0,0,0,1/\sqrt2)$
che coincide col primo vettore del risultato.
... e così per gli altri.
Inanzitutto ti ringrazio per la risposta. C'è un problema però, avevo provato a fare in questo modo ieri sera ma mentre v1 e v2 mi vengono, il v3 non mi risulta. Faccio vedere come ho fatto che è molto probabile abbia sbagliato.
v3 = b3 - (
$<\bb b_3, \bb v_1> = <\bb b_3, \bb v_2> = \bb 0$
ti torna ?
Quindi $\bb v_3 = \bb b_3$
ti torna ?
Quindi $\bb v_3 = \bb b_3$
"Quinzio":
$<\bb b_3, \bb v_1> = <\bb b_3, \bb v_2> = \bb 0$
ti torna ?
Quindi $\bb v_3 = \bb b_3$
SI mi torna...quindi v3=b3=(0,2,0,0) ; normalizzo v3 e mi risulta (0,1,0,0) diverso dalla soluzione che dice che v3 normalizzata=(0,2/√2,0,-1/√2). Non capisco se sto sbagliando dei calcoli...e continuo a non capire cosa serva nel problema l'equazione iniziale che rappresenta il prodotto scalare:2x1y1+x2y2+x3y3+2x4y4+x2y4+x4y2
Grazie come sempre per la tua disponibilità e scusa se sono un capoccione.
"Damuman":
[quote="Quinzio"]$<\bb b_3, \bb v_1> = <\bb b_3, \bb v_2> = \bb 0$
ti torna ?
Quindi $\bb v_3 = \bb b_3$
SI mi torna...quindi v3=b3=(0,2,0,0) ; normalizzo v3 e mi risulta (0,1,0,0) diverso dalla soluzione che dice che v3 normalizzata=(0,2/√2,0,-1/√2). Non capisco se sto sbagliando dei calcoli...e continuo a non capire cosa serva nel problema l'equazione iniziale che rappresenta il prodotto scalare:2x1y1+x2y2+x3y3+2x4y4+x2y4+x4y2
Grazie come sempre per la tua disponibilità e scusa se sono un capoccione.[/quote]
No, ho fatto un errore nel calcolo !!!
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