Ortogonalizzazione rispetto a un prodotto scalare
Ciao ragazzi,non riesco proprio a venire alla soluzione di questo esercizio,mi potete dare una mano??
Sia data la forma bilineare fi su $ R^3 $
$ fi ((x,y,z);(x',y',z'))=xx'+xy'-xz'+yx'+2yy'-x'z+3zz' $
1) verificare che sia un prodotto scalare
La matrice associata alla forma bilineare e' $ ( (1,1,-1) , (1,2,0) , (-1,0,3) ) $ che e' simmetrica quindi e' un prodotto interno.Col metodo di Gauss Lagrange viene la matrice diagonale $ ( (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,2) )$ quindi autovalori tutti positivo,allora e un prodotto scalare.
2)Si determini una base di $R^3 $ Orto rispetto a fi ( qua non so come procedere, basta solo ortogonalizzare fi con gram smith???)
3) sia dato il sottospazio vettoriale $ W=span {(1;-1,1),(3,1,1)} $
Si determini una base ortonormale ,rispetto al prodotto scalare fi, sia di W che del sottospazio ortogonale a W.
Sottospazio ortogonale a W con gram smith viene $Wt =span {(1,-1,1),(2,2,0)} $
Quindi autovalori tutti positivo,allora e un prodotto scalare.
2)Si determini una base di $R^3 $ Orto rispetto a fi ( qua non so come procedere, basta solo ortogonalizzare fi con gram smith???)
3) sia dato il sottospazio vettoriale $ W=span {(1;-1,1),(3,1,1)} $
Si determini una base ortonormale ,rispetto al prodotto scalare fi, sia di W che del sottospazio ortogonale a W.
Sottospazio ortogonale a W con gram smith viene $Wt =span {(1,-1,1),(2,2,0)} $
quindi prima devo ortonormalizzare rispetto al fi il sottospazio W
w1= w1'
w2=w2-((fi《(w1');(w2)》)/(fi《(w1');(w1')》)) x (w1')
fi 《(w1');(w2)》= $ ( (1),(-1),(1) ) × ( (1,1,-1) , (1,2,0) , (-1,0,3) ) × (3,1,1) $ che viene -2
fi 《(w1');(w1')》 con lo stesso procedimento di prima viene 2
Quindi coeff. Di fourier=-1
Allora la base ortogonale di W rispetto a fi e' $ B= ((1,-1,1) ; (4,0,2)) $ poi dividendoli per la norma mi viene la base ortonormale ( va bene questo procedimento??)
Sostituendo nel prodotto scalare quei due vettori appena trovati viene 0, quindi sembra andar bene,ma non ne sono sicuro,ringrazio in anticipo chi mi dara' una mano ad affrontare questo oltraggioso esercizio!!!
Sia data la forma bilineare fi su $ R^3 $
$ fi ((x,y,z);(x',y',z'))=xx'+xy'-xz'+yx'+2yy'-x'z+3zz' $
1) verificare che sia un prodotto scalare
La matrice associata alla forma bilineare e' $ ( (1,1,-1) , (1,2,0) , (-1,0,3) ) $ che e' simmetrica quindi e' un prodotto interno.Col metodo di Gauss Lagrange viene la matrice diagonale $ ( (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,2) )$ quindi autovalori tutti positivo,allora e un prodotto scalare.
2)Si determini una base di $R^3 $ Orto rispetto a fi ( qua non so come procedere, basta solo ortogonalizzare fi con gram smith???)
3) sia dato il sottospazio vettoriale $ W=span {(1;-1,1),(3,1,1)} $
Si determini una base ortonormale ,rispetto al prodotto scalare fi, sia di W che del sottospazio ortogonale a W.
Sottospazio ortogonale a W con gram smith viene $Wt =span {(1,-1,1),(2,2,0)} $
Quindi autovalori tutti positivo,allora e un prodotto scalare.
2)Si determini una base di $R^3 $ Orto rispetto a fi ( qua non so come procedere, basta solo ortogonalizzare fi con gram smith???)
3) sia dato il sottospazio vettoriale $ W=span {(1;-1,1),(3,1,1)} $
Si determini una base ortonormale ,rispetto al prodotto scalare fi, sia di W che del sottospazio ortogonale a W.
Sottospazio ortogonale a W con gram smith viene $Wt =span {(1,-1,1),(2,2,0)} $
quindi prima devo ortonormalizzare rispetto al fi il sottospazio W
w1= w1'
w2=w2-((fi《(w1');(w2)》)/(fi《(w1');(w1')》)) x (w1')
fi 《(w1');(w2)》= $ ( (1),(-1),(1) ) × ( (1,1,-1) , (1,2,0) , (-1,0,3) ) × (3,1,1) $ che viene -2
fi 《(w1');(w1')》 con lo stesso procedimento di prima viene 2
Quindi coeff. Di fourier=-1
Allora la base ortogonale di W rispetto a fi e' $ B= ((1,-1,1) ; (4,0,2)) $ poi dividendoli per la norma mi viene la base ortonormale ( va bene questo procedimento??)
Sostituendo nel prodotto scalare quei due vettori appena trovati viene 0, quindi sembra andar bene,ma non ne sono sicuro,ringrazio in anticipo chi mi dara' una mano ad affrontare questo oltraggioso esercizio!!!
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