Ortogonalizzazione di un vettore.

[galles90]

Buongiorno,

Sto leggendo il capitolo riguardante le questione metriche sui vettori liberi. Sono arrivato alla definizione di ortogonalizzazione di un vettore $\mathbf{v}$ rispetto ad $\mathbf{u}$.
Mi sorge la domanda, " forse sarà stupidà" ma l'ortogonalizzazione la si può vedere come una funzione ?

Ciao

[dissonance]

L'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt dici? Si, è una applicazione che associa alla \(n\)-upla ordinata \((v_1, v_2, \ldots, v_n)\in V\setminus\{0\}\) la \(n\)-upla ordinata \((w_1, w_2, \ldots, w_n)\in V\setminus\{0\}\), dove la seconda \(n\)-upla è costituita da vettori a due a due ortogonali e che verificano le varie proprietà di orientazione eccetera eccetera (e scusa se non faccio i grassetti, è per sbrigarmi prima).

[galles90]

Hey dissonance,
non ti so rispondere con certezza, ma presumo di no. Perché la nozione che tu dici, viene dopo.

[dissonance]

In ogni caso la risposta alla tua domanda è affermativa. Ma non è molto conveniente vedere queste cose come "applicazioni", meglio pensarle come metodi concreti, utilissimi nella pratica. La teoria viene dopo.

[galles90]

Esatto hai ragione, perché ora mi sto confondendo su alcuni punti.
Adesso sto facendo un esercizio dove mi chiede di mostrare che i punti
$A=(1,2,0,1)$ $B=(3,4,1,1) $ e $C=(2,2,-1.1)$
formano un triangolo rettangolo.

Quindi devo far vedere quale dei vettori proposti siano ortogonali, cioè formano un angolo di $90°$. Ora per individuare quest'angolo mi devo calcolare il prodotto scalare tra

$, $

sul mio libro definisce prodotto scalare nel seguente modo:
posto l'angolo tra $A$ e $B$ come $alpha$

con $A$ e $B$ non nulli ; $=|A||B|cos(alpha)$

Ora, qua il blocco

$|A|= sqrt{1^2+2^2+0^2+1^2}=sqrt{6}$
$|B|= sqrt{3^2+4^2+1^2+1^2}=sqrt{27}$

mi manca l'angolo " sempre sul mio libro"

il $cos(alpha)= frac{}{|A||B|}$ c'è qualcosa che non mi è chiaro.

[dissonance]

Secondo me non devi studiare i prodotti scalari \(\langle A, B\rangle, \langle B, C\rangle\) eccetera. Devi invece studiare i prodotti scalari \(\langle B-A, C-A\rangle\) eccetera. Quelle differenze rappresentano vettori: \(B-A\) è il vettore che nasce in \(A\) e finisce in \(B\), mentre \(C-A\) è il vettore che nasce in \(A\) e finisce in \(C\), eccetera.

Se \(\langle B-A, C-A\rangle=0\) allora quei due vettori sono ortogonali, il che significa esattamente che l'angolo \(\hat{BAC}\) è retto.

[galles90]

Hey dissonance, grande
si trova rettangolo nel punto $A$ come da risposta nell'eserciziario. Ho capito il procedimento dell'esercizio.
L'unica cosa che non mi è chiara è il prodotto scalare, cioè sul libro è definito in un maniera, " almeno cosi ho capito"
come ho citato:

"galles90":
$ = |A||B|cos(alpha) $

invece su internet, lo vedo definito in un altra maniera, ovvero:

Esempio

\(\displaystyle \mathbf{x}=(1,2,3) \)
\(\displaystyle \mathbf{y}=(4,5,6) \)

\(\displaystyle <\mathbf{x},\mathbf{y}>=(1\cdot 4)+(2\cdot 5)+(3\cdot 6)=4+10+18=32 \)

e non come, sta scritto sul mio libro, cioè :

$ = |A||B|cos(alpha) $

Sono due metodi distinti ? oppure sul mio libro è solo una definizione.... non saprei

Ciao

[dissonance]

Meglio scrivere \(\langle \vec v, \vec w\rangle\), perché il prodotto scalare si fa tra vettori e non tra punti. Puoi omettere la freccetta se vuoi.

In ogni caso, quella del libro è la *definizione* di angolo tra i vettori \(\vec v \) e \(\vec w\). Mentre la definizione di prodotto scalare è quella che hai trovato su internet (ma sicuramente il tuo libro ne parlerà). Nota che, dati due vettori, resta definito il coseno dell'angolo che essi formano. Forse hai sentito parlare, in fisica, di coseni direttori, sono lo stesso concetto.

[killing_buddha]

Se \(v\in V\) è un vettore, esiste una applicazione di proiezione sul sottospazio ortogonale a \(\langle v\rangle\), che è una onesta applicazione lineare la quale fa esattamente quel che chiedi...

[galles90]

Hey grazie ad entrambi,
comunque per una maggiore chiarezza devo aspettare un altro po', tipo la nozione di sottospazio ortogonale è al capito successivo a quello che ora sto studiano.