Ortogonalità in più dimensioni
Nel corso di geometria 1 mi è stato insegnato che l'ortogonalità di due vettori si può esprimere a partire dal prodotto scalare: due vettori \( v_1 \) e \( v_2 \) si dicono ortogonali se <\( v_1 \), \( v_1 \)> = 0 dove < , > esprime appunto il prodotto scalare definito sullo spazio vettoriale. Questa nozione di ortogonalità si verifica essere equivalente a quella usuale che si impara fin dalle elementari in \( \mathbb{R}^2 \) e in \( \mathbb{R}^3 \) . Ma chi mi dice che ciò vale anche in \( \mathbb{R}^n \)?
Risposte
In $R^n$ non c'è nessuna nozione di ortogonalità che si impara fin dalle elementari. Quindi l'unica nozione di ortogonalità in $R^n$ è quella che hai citato.
In effetti il ragionamento è proprio quello: partiamo da una nozione "grafica" di ortogonalità in dimensione 2 e 3. Poi ci accorgiamo che possiamo darne una versione analitica, e poi ci accorgiamo anche che questa versione analitica è migliore, perché si può generalizzare senza nessuno sforzo ulteriore anche al caso della dimensione $n$ generica.
In effetti il ragionamento è proprio quello: partiamo da una nozione "grafica" di ortogonalità in dimensione 2 e 3. Poi ci accorgiamo che possiamo darne una versione analitica, e poi ci accorgiamo anche che questa versione analitica è migliore, perché si può generalizzare senza nessuno sforzo ulteriore anche al caso della dimensione $n$ generica.
chi mi dice che ciò vale anche in $RR^n$?Per esempio il fatto che vale nel piano \(\langle v_1,v_2\rangle \le \mathbb R^n\)?
"dissonance":
In $R^n$ non c'è nessuna nozione di ortogonalità che si impara fin dalle elementari. Quindi l'unica nozione di ortogonalità in $R^n$ è quella che hai citato.
In effetti il ragionamento è proprio quello: partiamo da una nozione "grafica" di ortogonalità in dimensione 2 e 3. Poi ci accorgiamo che possiamo darne una versione analitica, e poi ci accorgiamo anche che questa versione analitica è migliore, perché si può generalizzare senza nessuno sforzo ulteriore anche al caso della dimensione $n$ generica.
Sono d'accordo che non potendolo verificare in dimensione maggiore di 3 bisogna per forza partire da qualche "assioma" di ortogonalità che diamo noi, ma teoricamente potrei inventarmi un'altra definizione di ortogonalità che vada bene in 2 e 3 dimensioni ma che differisca da quella data dal prodotto scalare. Io sto seguendo un corso di relatività e parlando di trasporto parallelo mi è venuto il dubbio se la nozione di ortogonalità che abbiamo sia adeguata per la descrizione di quantità vettoriali esistenti realmente, come la velocità per dire.
Quello che voglio dire è che la matematica sicuramente è consistente, ma questa nozione di ortogonalità non può essere una cosa come il quarto postulato di euclide, che se si assume porta alla geometria euclidea e che se si rifiuta si giunge ad altre geometrie?
Magari si può avere un'altra teoria della relatività che funziona ugualmente ma che è basata su un'altra nozione di ortogonalità, no?
Quello che mi è un po' oscuro è perchè si parte dal prodotto scalare, cosa ce lo fa scegliere per fondare la "geometria" di uno spazio vettoriale, non si poteva magari partire dalla definizione di angolo tra due vettori? Forse se avessi una spiegazione più chiara sul perchè si compie questa scelta non mi porrei più il problema.
P.S. grazie per le risposte, questo forum è stata un bella scoperta
"megas_archon":chi mi dice che ciò vale anche in $RR^n$?Per esempio il fatto che vale nel piano \(\langle v_1,v_2\rangle \le \mathbb R^n\)?
cosa vuoi dire con questo? Un prodotto scalare dà un numero reale, invece \(\mathbb R^n\) è un insieme, scusa ma non ho capito.
Essenzialmente, stai chiedendo 0) cos'è un isomorfismo tra due coppie \( (\mathbb R^n,g_1) \) e \( (\mathbb R^n,g_2) \) dove \( \mathbb R^n \) è lo spazio standard e le \( g_i \) sono forme bilineari simmetriche definite positive o non degeneri su \( \mathbb R^n \); e 1) se tutte queste coppie sono isomorfe per questa opportuna nozione di isomorfismo. La 1) non è vera. Una volta ho visto un libro per fisici dove si fa chiarezza su queste cose. Mi pare fosse il libro di Naber, "The Geometry of Minkowsky Spacetime"; non commento sui capitoli di fisica, dato che mi mancano prerequisiti per leggerli, ma il primo capitolo è letteralmente solo algebra lineare.
"Cannone Speciale":
[quote="megas_archon"]chi mi dice che ciò vale anche in $RR^n$?Per esempio il fatto che vale nel piano \(\langle v_1,v_2\rangle \le \mathbb R^n\)?
cosa vuoi dire con questo? Un prodotto scalare dà un numero reale, invece \(\mathbb R^n\) è un insieme, scusa ma non ho capito.[/quote] L'ortogonalità tra due vettori \(u,v\) in \(\mathbb R^n\) è la stessa nozione dell'ortogonalità nel piano generato da \(u,v\). Non hai capito quello che ho scritto perché hai visto \(\le\) e hai pensato che fosse una disuguaglianza di numeri reali, laddove invece è la notazione standard che designa il fatto che \(U\subseteq V\) è in effetti un sottospazio, o sottostruttura, di \(V\).
"megas_archon":
L'ortogonalità tra due vettori \(u,v\) in \(\mathbb R^n\) è la stessa nozione dell'ortogonalità nel piano generato da \(u,v\). Non hai capito quello che ho scritto perché hai visto \(\le\) e hai pensato che fosse una disuguaglianza di numeri reali, laddove invece è la notazione standard che designa il fatto che \(U\subseteq V\) è in effetti un sottospazio, o sottostruttura, di \(V\).
Si esatto mi ha confuso il segno minore, quello che dici è vero ma il problema rimane: anche se la dimensione del sottospazio è 2, i due vettori sono in \( \mathbb{R} ^n \) , il prodotto scalare che avevo era definito per vettori con due componenti. Non mi sembra di aver risolto la questione con questa osservazione, grazie, comunque, mi hai dato un'altra prospettiva.
Beh, questo è un falso problema. Nel piano generato dai due vettori (supponiamo che siano linearmente indipendenti), quei vettori hanno coordinate \((1,0)\) e \((0,1)\) nel riferimento formato da loro stessi...
"marco2132k":
Essenzialmente, stai chiedendo 0) cos'è un isomorfismo tra due coppie \( (\mathbb R^n,g_1) \) e \( (\mathbb R^n,g_2) \) dove \( \mathbb R^n \) è lo spazio standard e le \( g_i \) sono forme bilineari simmetriche definite positive o non degeneri su \( \mathbb R^n \); e 1) se tutte queste coppie sono isomorfe per questa opportuna nozione di isomorfismo. La 1) non è vera. Una volta ho visto un libro per fisici dove si fa chiarezza su queste cose. Mi pare fosse il libro di Naber, "The Geometry of Minkowsky Spacetime"; non commento sui capitoli di fisica, dato che mi mancano prerequisiti per leggerli, ma il primo capitolo è letteralmente solo algebra lineare.
Non ho capito, cosa c'entrano gli isomorfismi con la mia domanda? Poi io so la definizione di isomorfismo tra spazi vettoriali che mi hanno fornito in geometria 1, leggendo su wikipedia ho visto che ce n'è una più generale in topologia, che però non comprendo appieno, non sapendo bene cosa sia un omeomorfismo. Spero di non dover imparare anche questo per capire la tua risposta (sto seguendo un corso su youtube di geometria differenziale per capire fino in fondo il corso di relatività). Adesso vado a cercare il libro che hai citato, grazie per il consiglio.
"megas_archon":
Beh, questo è un falso problema. Nel piano generato dai due vettori (supponiamo che siano linearmente indipendenti), quei vettori hanno coordinate \((1,0)\) e \((0,1)\) nel riferimento formato da loro stessi...
Quindi tu dici che a questo punto posso fare il prodotto scalare tra i due, ma poi come faccio a capire quanto vale in \( \mathbb{R} ^n \) ? Se come dici tu li prendiamo come base del piano da loro generato e gli assegniamo le coordinate (1, 0) e (0, 1) e ne facciamo il prodotto scalare canonico otteniamo 0, ma magari non erano perpendicolari.
"marco2132k":
Essenzialmente, stai chiedendo 0) cos'è un isomorfismo tra due coppie \( (\mathbb R^n,g_1) \) e \( (\mathbb R^n,g_2) \) dove \( \mathbb R^n \) è lo spazio standard e le \( g_i \) sono forme bilineari simmetriche definite positive o non degeneri su \( \mathbb R^n \); e 1) se tutte queste coppie sono isomorfe per questa opportuna nozione di isomorfismo. La 1) non è vera. Una volta ho visto un libro per fisici dove si fa chiarezza su queste cose. Mi pare fosse il libro di Naber, "The Geometry of Minkowsky Spacetime"; non commento sui capitoli di fisica, dato che mi mancano prerequisiti per leggerli, ma il primo capitolo è letteralmente solo algebra lineare.
Sono riuscito a reperire il libro e ho sfogliato il primo capitolo, che parte proprio dalla definizione di prodotto scalare, ma non risponde ai miei dubbi purtroppo.
Eh ma quando dici che
Però se non ti risolve i dubbi lasciami perdere, perché di GR non ho mai seguito nulla quindi probabilmente sono io che ti fraintendo...
Quello che voglio dire è che la matematica sicuramente è consistente, ma questa nozione di ortogonalità non può essere una cosa come il quarto postulato di euclide, che se si assume porta alla geometria euclidea e che se si rifiuta si giunge ad altre geometrie?stai chiedendo: "se prendo un altro prodotto scalare, non può succedere (ad esempio) che l'angolo tra due vettori che mi aspetto non ortogonali è, invece, 0?" Questo è esattamente quello che succede nello spazio di Minkowsky, no?
Magari si può avere un'altra teoria della relatività che funziona ugualmente ma che è basata su un'altra nozione di ortogonalità, no?
Però se non ti risolve i dubbi lasciami perdere, perché di GR non ho mai seguito nulla quindi probabilmente sono io che ti fraintendo...
Quello che dici tu assume che l'angolo tra vettori si calcoli con il prodotto scalare, io stavo proprio mettendo in discussione ciò, nel frattempo credo di aver più o meno risolto la questione, il fatto è che pensavo esistesse una definizione di perpendicolarità più intrinseca e quando mi è stato proposto di fornirla non ne sono stato capace. Conoscendo quindi solo il prodotto scalare come strumento per capire se due vettori sono ortogonali e sapendo che funziona in dimensione 2 e 3, mi fido che funzioni anche in dimensione maggiore.
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