Ortogonalità implica indipendenza
Sia $V$ un $K$ spazio e sia $b$ una forma bilineare su $V$.
Se ${v_1,..,v_s}$ è un sistema ortogonale di vettori anisotropi, allora è un sistema indipendente.
Prendo $sum_(k=1)^(s)lambda_kv_k=0$ e mostro che sono tutti nulli gli scalari.
ora $b(v_j,sum_(k=1)^(s)lambda_kv_k)=b(v_j,0)=0, forallj=1,..,s$
Ma d'altra parte $b(v_j,sum_(k=1)^(s)lambda_kv_k)=lambda_jb(v_j,v_j)$ per ipotesi di ortogonalitá.
Dunque $lambda_jb(v_j,v_j)=0,forallj=1,..,s=>lambda_j=0,forallj=1,..,s$
È corretto?
Se ${v_1,..,v_s}$ è un sistema ortogonale di vettori anisotropi, allora è un sistema indipendente.
Prendo $sum_(k=1)^(s)lambda_kv_k=0$ e mostro che sono tutti nulli gli scalari.
ora $b(v_j,sum_(k=1)^(s)lambda_kv_k)=b(v_j,0)=0, forallj=1,..,s$
Ma d'altra parte $b(v_j,sum_(k=1)^(s)lambda_kv_k)=lambda_jb(v_j,v_j)$ per ipotesi di ortogonalitá.
Dunque $lambda_jb(v_j,v_j)=0,forallj=1,..,s=>lambda_j=0,forallj=1,..,s$
È corretto?
Risposte
ciao! se con anisotropi intendi non nulli (scusa ma non avevo mai sentito questo termine), allora la risposta è si. è corretto
Sia $V$ un $K$ spazio vettoriale e sia $b$ una forma bilineare su $V$.
Dato $vec(v)inV$ diremo che $vec(v)$ è isotropo rispetto alla forma $b$ se $b(v,v)=0$
In base a questa definizione, un sistema lo dirò anisotropo, se ogni vettore del sistema è non isotropo.
Dato $vec(v)inV$ diremo che $vec(v)$ è isotropo rispetto alla forma $b$ se $b(v,v)=0$
In base a questa definizione, un sistema lo dirò anisotropo, se ogni vettore del sistema è non isotropo.
ah ok! bhe la dimostrazione è comunque corretta. io conoscevo quel teorema sostituendo ad "anisotropo", "vettori non nulli" e chiedendo che la forma bilineare fosse un prodotto scalare (in pratica assorbivo la tua definizione negli assiomi di non degenerazione mi pare). che sia uno o sia l'altro non importa basta ci sia qualcosa che permetta di affermare che $b(v_j,v_j) != 0$ $AA j$
nel tuo caso è per definizione di anisotropo, nel mio per gli assiomi che definiscono il prodotto scalare.
nel tuo caso è per definizione di anisotropo, nel mio per gli assiomi che definiscono il prodotto scalare.
Beh diciamo che in prodotto scalare ogni vettore è non isotropo, per tanto discende naturalmente per conseguenza di quanto ho tentato di dimostrare. Diciamo mi interessava dimostrarlo per qualsiasi forma bilineare simmetrica.
Ah un cosa. Quando hai parlato di 'assiomi di non degenere' intendi che dato un prodotto scalare allora è non degenere?
credo di si. per chiarire i due assiomi di non degenerazione che intendo sono:
1. $ in RR$ e $ >= 0$
2. $ = 0 hArr x=0$
dove $<,>: V xx V -> \mathbb{K}$ e $x in V$
1. $
2. $
dove $<,>: V xx V -> \mathbb{K}$ e $x in V$
Ah intendi quindi che $<,>$ sia un prodotto scalare.
Perfetto
io per non degenere intendo che la matrice associata alla forma bilineare abbia rango massimo.
Invece una cosa, sai dirmi come si dimostra che data una forma bilineare, se due matrici sono congruenti, allora rappresentano la stessa forma? Il viceversa lo so provare, ma per questo non mi viene nulla.
Perfetto
io per non degenere intendo che la matrice associata alla forma bilineare abbia rango massimo.Invece una cosa, sai dirmi come si dimostra che data una forma bilineare, se due matrici sono congruenti, allora rappresentano la stessa forma? Il viceversa lo so provare, ma per questo non mi viene nulla.
ci provo ma è tardi tardi... morale: potrebbero essere solo strafalcioni:
chiamo M la matrice che permette l'ortogonalità. questa definisce un cambio di base e quindi
$_A = (Mv)^T A (Mw) = v^T (M^T A M) w = _(M^T A M)$
dove A è la matrice rappresentativa della forma bilineare.
chiamo M la matrice che permette l'ortogonalità. questa definisce un cambio di base e quindi
$
dove A è la matrice rappresentativa della forma bilineare.
Perfetto grazie Cooper
Ora ci elucubro su ahahaah
Ora ci elucubro su ahahaah
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo