Ortogonalità
Ho questo problema..Devo calcolare un piano $pi$ passante per $P: (2,3,2)$ e ortogonale alla retta $r$ di equazioni $\{(2x - y + 2 = 0),(y - 2z - 2= 0):}$ Non sò come procedere perchè non sò che parametri devo utilizzare per scrivere l'eq. cartesiana del piano.. Qualcuno mi potrebbe aiutare ho un esame tra pochi giorni grazie 
Risposte
Un modo può essere il seguente.
Il piano ha equazione \( \pi : AX + BY + CZ + D = 0 \).
(1) Scrivi l'equazione di \( r \) in forma parametrica e ricava la sua giacitura.
(2) La giacitura di \( \pi \) è il complemento ortogonale di quella di \( r \).
(3) Trovata la giacitura, rimane da trovare la costante \( D \) imponendo l'appartenenza di \( P \) al piano.
Il piano ha equazione \( \pi : AX + BY + CZ + D = 0 \).
(1) Scrivi l'equazione di \( r \) in forma parametrica e ricava la sua giacitura.
(2) La giacitura di \( \pi \) è il complemento ortogonale di quella di \( r \).
(3) Trovata la giacitura, rimane da trovare la costante \( D \) imponendo l'appartenenza di \( P \) al piano.
Si ho problemi a trovare il complemento ortogonale.. Potresti illustrarmi i passaggi algebrici così mi chiarisco tutti i dubbi ti ringrazio
In realtà non mi sono espresso nella maniera più felice possibile.
Mi spiego meglio.
Per trovare l'equazione di un piano ortogonale ad una retta, è sufficiente conoscere un vettore di direzione della retta.
La giacitura di un piano è infatti individuata dalle soluzioni dell'equazione lineare omogenea
\[ AX+BY+CZ=0 \]
la quale, scritta in termini di prodotti scalari, porge
\[ \begin{pmatrix} A & B & C \end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix} = 0 \]
Il vettore di componenti \( \begin{pmatrix} A \\ B \\ C \end{pmatrix} \) è allora un vettore di direzione di una retta ortogonale al piano.
Fatta questa premessa, segui i passi seguenti:
(1) Scrivi l'equazione di \( r \) in forma parametrica, in modo da poter individuare la sua giacitura;
(2) I coefficienti \( A \), \( B \) e \( C \) dell'equazione di \( \pi \) sono le componenti di un vettore di direzione di \( r \);
(3) Imponi l'appartenenza di \( P \) nell'equazione di \( \pi \) per trovare il parametro \( D \).
Mi spiego meglio.
Per trovare l'equazione di un piano ortogonale ad una retta, è sufficiente conoscere un vettore di direzione della retta.
La giacitura di un piano è infatti individuata dalle soluzioni dell'equazione lineare omogenea
\[ AX+BY+CZ=0 \]
la quale, scritta in termini di prodotti scalari, porge
\[ \begin{pmatrix} A & B & C \end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix} = 0 \]
Il vettore di componenti \( \begin{pmatrix} A \\ B \\ C \end{pmatrix} \) è allora un vettore di direzione di una retta ortogonale al piano.
Fatta questa premessa, segui i passi seguenti:
(1) Scrivi l'equazione di \( r \) in forma parametrica, in modo da poter individuare la sua giacitura;
(2) I coefficienti \( A \), \( B \) e \( C \) dell'equazione di \( \pi \) sono le componenti di un vettore di direzione di \( r \);
(3) Imponi l'appartenenza di \( P \) nell'equazione di \( \pi \) per trovare il parametro \( D \).
grazie ora ho capito ! Molto gentile
Scusami se ti ho risposto che avevo capito in realtà non riesco a impostare l'appartenenza del punto al piano per trovare il parametro.. Il passo (3) mi puoi far vedere i passaggi algebrici?
Per l'appartenenza del punto al piano basta che sostituisci a x0,y0,z0 nell'equazione generica della stella di piano (piano per un punto) a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0), le coordinate del tuo punto P. Ovvero: a(x-2)+b(y-3)+c(z-2)=0
Poiché deve essere \( P\, (2,\, 3,\, 2) \in \pi \), allora l'equazione
\[ AX+BY+CZ+D=0 \]
si traduce in
\[ 2A+3B+2C+D=0 \]
Quando arriverai al passo (3), i coefficienti \( A,\, B \) e \( C \) saran noti, pertanto l'ultima equazione scritta è una semplice equazione in \( D \), che ti fornisce il valore cercato.
\[ AX+BY+CZ+D=0 \]
si traduce in
\[ 2A+3B+2C+D=0 \]
Quando arriverai al passo (3), i coefficienti \( A,\, B \) e \( C \) saran noti, pertanto l'ultima equazione scritta è una semplice equazione in \( D \), che ti fornisce il valore cercato.
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