Ortogonale similitudine fra matrici antisimmetriche (e simmetriche)
Premessa: supponiamo che il campo sia $RR$
Noi sappiamo per certo che due matrici simmetriche sono simili se e solo se hanno stesso polinomio caratteristico. Se consideriamo invece due matrici antisimmetriche di ordine $2$ sappiamo che sono ortogonalmente simili se e solo se sono uguali, mentre se consideriamo due matrici antisimmetriche di ordine $3$ esse sono ortogonalmente simili se e solo se hanno lo stesso polinomio caratteristico. Ora sorge la domanda: in generale c'è un criterio per stabilire se due matrici antisimmetriche di ordine $n$ sono ortogonalmente simili? Secondo me già da ordine $4$ non esiste questo criterio. Un'altra domanda che mi sorge è: quando è che una matrice antisimmetriche e una simmetrica diverse dalla matrice nulla sono ortogonalmente simili. Per gli ordini $2,3$ si vede facilmente che siccome la matrice simmetrica ha solo autovalori reali mentre la matrice antisimmetrica ha anche autovalori complessi non possono essere simili. Già da ordine $4$ risulta difficile capire se gli autovalori di una matrice antisimmetrica siano tutti reali o ci siano anche quelli complessi, ma comunque credo che in generale una matrice simmetrica e una matrice antisimmetrica non possano mai essere simili. Voi che ne pensate?
Noi sappiamo per certo che due matrici simmetriche sono simili se e solo se hanno stesso polinomio caratteristico. Se consideriamo invece due matrici antisimmetriche di ordine $2$ sappiamo che sono ortogonalmente simili se e solo se sono uguali, mentre se consideriamo due matrici antisimmetriche di ordine $3$ esse sono ortogonalmente simili se e solo se hanno lo stesso polinomio caratteristico. Ora sorge la domanda: in generale c'è un criterio per stabilire se due matrici antisimmetriche di ordine $n$ sono ortogonalmente simili? Secondo me già da ordine $4$ non esiste questo criterio. Un'altra domanda che mi sorge è: quando è che una matrice antisimmetriche e una simmetrica diverse dalla matrice nulla sono ortogonalmente simili. Per gli ordini $2,3$ si vede facilmente che siccome la matrice simmetrica ha solo autovalori reali mentre la matrice antisimmetrica ha anche autovalori complessi non possono essere simili. Già da ordine $4$ risulta difficile capire se gli autovalori di una matrice antisimmetrica siano tutti reali o ci siano anche quelli complessi, ma comunque credo che in generale una matrice simmetrica e una matrice antisimmetrica non possano mai essere simili. Voi che ne pensate?
Risposte
[ot]Un PDF di matematica su TikTok[/ot]
"dissonance":
[ot]Un PDF di matematica su TikTok[/ot]
Ops sbagliato link ahhahah, correggo subito
"Martino":
Probabilmente faresti bene a leggere questo (clic) (le matrici antisimmetriche sono normali) che implica che le matrici antisimmetriche reali sono diagonalizzabili su $CC$.
Posso dimostrare anche in questo modo che le matrici antisimmetriche reali sono diagonalizzabili su $CC$?
Ogni matrice antisimmetrica reale è simile a una matrice antisimmetrica normalizzata del tipo
dove $a_j!=0$ per ogni $j$. Studiando i blocchi $((0,a_j),(-a_j,0))$ sappiamo che questi sono diagonalizzabili in $((ia_j,0),(0,-ia_j))$ e quindi la matrice antisimmetrica normalizzata è diagonalizzabile e quindi anche la matrice reale di partenza lo è.
Sì ma comunque stai usando quella forma a blocchi, che è un risultato non banale (e tra l'altro si usa il teorema spettrale nella sua dimostrazione). Meglio usare il teorema spettrale direttamente.
"Martino":
Sì ma comunque stai usando quella forma a blocchi, che è un risultato non banale (e tra l'altro si usa il teorema spettrale nella sua dimostrazione). Meglio usare il teorema spettrale direttamente.
E l'ho visto sul link che ho mandato prima la dimostrazione a blocchi, devo dire molto difficile, infatti devo ancora capirla tutta bene.
link un pdf sul teorema spettrale hermitiano e gli operatori normali, scritto a suo tempo dal mio prof di geometria 1:
https://people.dm.unipi.it/benedett/spe ... HERMIT.pdf
https://people.dm.unipi.it/benedett/spe ... HERMIT.pdf
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