Orientamento di un'ipersuperficie
Non sono sicuro che sia la sezione giusta comunque....studiando la frontiera regolare di un aperto in $R^n$ mi è venuto un dubbio (probabilmentè una stupidaggine 
): data una varietà differenziale $M$ di classe $C^1$ e di dimensione $n-1$ immersa in uno spazio euclideo (o basta normato ? 
) $X$ di dimensione $n$ ci sono delle condizioni sulla varietà (magari sulle parametrizzazioni o sui vincoli locali) per cui sono sicuro che sia possibile definire un orientamento su $M$ ?
): data una varietà differenziale $M$ di classe $C^1$ e di dimensione $n-1$ immersa in uno spazio euclideo (o basta normato ? ) $X$ di dimensione $n$ ci sono delle condizioni sulla varietà (magari sulle parametrizzazioni o sui vincoli locali) per cui sono sicuro che sia possibile definire un orientamento su $M$ ?
Risposte
È sufficiente che esista un campo vettoriale $N : M \to T X$ mai nullo che sia in ogni punto di $M$ perpendicolare a $T_p M$. In altre parole, $M$ è orientabile se esiste un campo normale alla superficie.
Ok..ma per verificarlo devo calcolarlo ogni volta e vedere che è continuo ?
Se l'idea è quella di usare questa tecnica, direi di sì. Ma esistono anche metodi di altra natura. C'è qualche esempio in particolare che ti interessa?
No stavo ragionando in generale...cioè stavo pensando se ci fosse qualche metodo più rapido per verificare se un'ipersuperficie è orientabile oppure no (più rapido rispetto a doversi calcolare il campo di versori normali alla superficie e verificare che sia continuo)
Altri metodi che mi vengono in mente per verificare che una varietà sia orientabile sono:
1. Trovare un ricoprimento di carte coordinate tale che tutte le mappe di transizione abbiano Jacobiano positivo.
2. Trovare una $(n-1)$-forma che non si annulla sulla varietà.
3. Dimostrare che la varietà è parallelizzabile.
Nota che $1$ e $2$ sono condizioni anche necessarie, mentre $3$ è solo sufficiente perché tutte le varietà parallelizzabili sono orientabili ma ci sono certamente delle varietà orientabili che non sono parallelizzabili.
1. Trovare un ricoprimento di carte coordinate tale che tutte le mappe di transizione abbiano Jacobiano positivo.
2. Trovare una $(n-1)$-forma che non si annulla sulla varietà.
3. Dimostrare che la varietà è parallelizzabile.
Nota che $1$ e $2$ sono condizioni anche necessarie, mentre $3$ è solo sufficiente perché tutte le varietà parallelizzabili sono orientabili ma ci sono certamente delle varietà orientabili che non sono parallelizzabili.
Mmm capito...quindi in generale non c'è un metodo migliore di un altro, diciamo che dipende dai casi che considero ?
A seconda dei casi può essere più comoda una tecnica oppure un'altra, certo.
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