Orientabilità $\implies$ field of frames continuo.
Vorrei mostrare che se una k-superficie $S\subset\mathbb{R}^n$ di classe $C^{(1)}$ è orientabile, allora esiste un field of frames continuo su di essa.
Innanzitutto, per me orientabilità significa che esiste almeno un atlante di carte a coppie consistenti, dove due carte sono consistenti se i loro domini d'azione sono disgiunti oppure, in caso non lo siano, se le transizioni mutue tra esse avvengono a Jacobiano positivo in ogni punto di $S$.
Con field of frames intendo invece una funzione che ad ogni punto $x\in S$ associa una base dello spazio vettoriale $TS_x$ (spazio tangente a $S$ in $x$). Non so come si traduca in italiano, forse campo di basi, ma non so.
Se la superficie in questione fosse descrivibile da una singola carta $\varphi:I^k\to S$ ($I^k$ k-cubo unitario aperto), allora saprei dimostrarlo. Prenderei infatti come field of frames quello dato dalle colonne della Jacobiana $\varphi'(x)$ in ogni punto $x\in S$, che sarebbe anche continuo poiché per ipotesi $\varphi\in C^{(1)}(I^k)$.
Se però la superficie è in generale descritta da più carte, non so come fare. Secondo la stessa idea appena esposta, avrei che ogni carta induce nel suo dominio d'azione un field of frames continuo, ma non capisco come posso "raccordarli" tra loro, formandone uno solo che sia ancora continuo.
Innanzitutto, per me orientabilità significa che esiste almeno un atlante di carte a coppie consistenti, dove due carte sono consistenti se i loro domini d'azione sono disgiunti oppure, in caso non lo siano, se le transizioni mutue tra esse avvengono a Jacobiano positivo in ogni punto di $S$.
Con field of frames intendo invece una funzione che ad ogni punto $x\in S$ associa una base dello spazio vettoriale $TS_x$ (spazio tangente a $S$ in $x$). Non so come si traduca in italiano, forse campo di basi, ma non so.
Se la superficie in questione fosse descrivibile da una singola carta $\varphi:I^k\to S$ ($I^k$ k-cubo unitario aperto), allora saprei dimostrarlo. Prenderei infatti come field of frames quello dato dalle colonne della Jacobiana $\varphi'(x)$ in ogni punto $x\in S$, che sarebbe anche continuo poiché per ipotesi $\varphi\in C^{(1)}(I^k)$.
Se però la superficie è in generale descritta da più carte, non so come fare. Secondo la stessa idea appena esposta, avrei che ogni carta induce nel suo dominio d'azione un field of frames continuo, ma non capisco come posso "raccordarli" tra loro, formandone uno solo che sia ancora continuo.
Risposte
Non è sempre possibile trovare un campo globale: se ne avessi uno, allora potresti associare a ogni punto, in modo continuo, un vettore non nullo del suo spazio tangente (ad esempio prendendo il primo vettore del frame corrispondente), ma è noto che un tale campo di vettori non può esistere se la caratteristica di Eulero della varietà è diversa da $0$.
Le varietà su cui è possibile trovare un campo continuo di frame sono dette "parallelizzabili": vedi ad esempio qui --> https://en.wikipedia.org/wiki/Parallelizable_manifold
Le varietà su cui è possibile trovare un campo continuo di frame sono dette "parallelizzabili": vedi ad esempio qui --> https://en.wikipedia.org/wiki/Parallelizable_manifold
La mia domanda nasce dall'esigenza di dimostrare che l'orientabilità di una superficie smooth è equivalente all'esistenza di un campo continuo di normali su di essa. Pensavo che il primo step fosse ragionevolmente dimostrare quanto dicevo in [1], ma a quanto pare non è così.
Ti chiedo allora per favore se hai qualche riferimento su cui posso trovare questa dimostrazione.
Ti chiedo allora per favore se hai qualche riferimento su cui posso trovare questa dimostrazione.
Lo spazio tangente \(T_pS\) è un sottospazio di \(T_p\mathbb{R}^n\) e lo spazio \((S_pM)^{\perp}\) non dipende dalla parametrizzazione scelta su \(S\). Se \(S\) è una ipersuperficie questo spazio è di dimensione \(1\) e ha senso parlare di normale alla superficie. Data una carta, puoi facilmente scegliere una funzione che mappa ogni punto della ipersuperficie al vettore normale unitario[nota]Per la norma puoi usare quella di \(\mathbb{R}^n\)[/nota] "positivo" per quella carta. A questo punto devi mostrare che cambiando carta puoi mantenere il vettore unitario nella stessa direzione.
Ok, ti ringrazio, l’unica cosa che non capisco è da dove dovrebbe saltare fuori la continuità di tale funzione.
La superficie è \(C^1\), dovresti fare tutti i calcoli per vederlo per bene però. Non vedo queste cose da un po' quindi ci metterei un po' ad impostare il discorso in maniera più formale. Ma il punto è che la funzione che crea il versore normale ha derivata nello spazio tangente della superficie.
Questo è proprio quello che succede nell'altro topic. Non sempre si possono costruire campi di frames globalmente, ad esempio, non si possono costruire dei campi siffatti sul nastro di Möbius.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo