Ordine in composizione permutazioni
Ciao, amici! Avrei un "piccolo" dubbio sull'ordine in cui si applicano le permutazioni in una loro composizione. Il Sernesi (Geometria I, p. 78) dice che, essendo $B=(b_{hk})$ una matrice ottenuta scambiando tra loro le righe i-esima e j-esima di $A$ si ha
\[\text{det}(B)=\sum_{p\in \sigma_n} \epsilon(p) b_{1p(1)}...b_{i p(i)}...b_{jp(j)}...b_{np(n)}=\sum_{p\in \sigma_n} \epsilon(p) a_{1p(1)}...a_{j p(i)}...a_{ip(j)}...a_{np(n)} \]\[= \sum_{p\in \sigma_n} \epsilon(p) a_{1(tp)(1)}...a_{i (tp)(i)}...a_{j(tp)(j)}...a_{n(pt)(n)} \]
dove $t$ è la trasposizione che scambia $i$ con $j$, che è tale che \(\epsilon(t \circ p)=-\epsilon(p)\) ($\epsilon$ è il segno della permutazione).
Ora, la permutazione $p$ è di tipo \(\begin{pmatrix} 1&···&i&···&j&···&n \\ p(1)&···&p(i)&···&p(j)&···&p(n) \end{pmatrix}\) e osservando il penultimo membro dell'uguaglianza, mi sembrerebbe che siamo davanti ad una permutazione di tipo
\(\begin{pmatrix} 1&···&i&···&j&···&n \\ p(1)&···&p(j)&···&p(i)&···&p(n) \end{pmatrix}\) che, se $t$ è il ciclo $(i\text{ }j)$, mi sembra identica a
\(\begin{pmatrix} 1&···&i&···&j&···&n \\ p(t(1))&···&p(t(i))&···&p(t(j))&···&p(t(n)) \end{pmatrix}\), cioè piuttosto $(pt)$ che $(tp)$, anche se sbaglio, vero?
Avrei identificato invece $(tp)$ con la permutazione che lascia "al loro posto" tutti i $p(k),k\in 1,...,n$ tranne quelli che valgono $i$ e $j$, che vengono scambiati l'uno con l'altro: sbaglio?
Grazie di cuore a tutti!!!
\[\text{det}(B)=\sum_{p\in \sigma_n} \epsilon(p) b_{1p(1)}...b_{i p(i)}...b_{jp(j)}...b_{np(n)}=\sum_{p\in \sigma_n} \epsilon(p) a_{1p(1)}...a_{j p(i)}...a_{ip(j)}...a_{np(n)} \]\[= \sum_{p\in \sigma_n} \epsilon(p) a_{1(tp)(1)}...a_{i (tp)(i)}...a_{j(tp)(j)}...a_{n(pt)(n)} \]
dove $t$ è la trasposizione che scambia $i$ con $j$, che è tale che \(\epsilon(t \circ p)=-\epsilon(p)\) ($\epsilon$ è il segno della permutazione).
Ora, la permutazione $p$ è di tipo \(\begin{pmatrix} 1&···&i&···&j&···&n \\ p(1)&···&p(i)&···&p(j)&···&p(n) \end{pmatrix}\) e osservando il penultimo membro dell'uguaglianza, mi sembrerebbe che siamo davanti ad una permutazione di tipo
\(\begin{pmatrix} 1&···&i&···&j&···&n \\ p(1)&···&p(j)&···&p(i)&···&p(n) \end{pmatrix}\) che, se $t$ è il ciclo $(i\text{ }j)$, mi sembra identica a
\(\begin{pmatrix} 1&···&i&···&j&···&n \\ p(t(1))&···&p(t(i))&···&p(t(j))&···&p(t(n)) \end{pmatrix}\), cioè piuttosto $(pt)$ che $(tp)$, anche se sbaglio, vero?
Avrei identificato invece $(tp)$ con la permutazione che lascia "al loro posto" tutti i $p(k),k\in 1,...,n$ tranne quelli che valgono $i$ e $j$, che vengono scambiati l'uno con l'altro: sbaglio?
Grazie di cuore a tutti!!!
Risposte
Premetto che la seguente è la mia personale interpretazione che potrebbe benissimo essere sbagliata.
Poiché Sernesi compone le funzioni da destra verso sinistra, nel modo usuale usato dagli analisti, insomma, io penso che ci sia un errore di battitura all'ultima riga di pagina 78.
Secondo me dovrebbe essere: "\(\displaystyle t \) la trasposizione che scambia \(\displaystyle p(i) \) con \(\displaystyle p(j) \)".
In tal modo andrebbe tutto a posto.
Altriimenti se \(\displaystyle t \) è la trasposizione che scambia \(\displaystyle i \) con \(\displaystyle j \) bisogna sostituire \(\displaystyle tp=t \circ p \) con \(\displaystyle pt= p \circ t \) ma propenderei per modificare la definizione di \(\displaystyle t \).
Poiché Sernesi compone le funzioni da destra verso sinistra, nel modo usuale usato dagli analisti, insomma, io penso che ci sia un errore di battitura all'ultima riga di pagina 78.
Secondo me dovrebbe essere: "\(\displaystyle t \) la trasposizione che scambia \(\displaystyle p(i) \) con \(\displaystyle p(j) \)".
In tal modo andrebbe tutto a posto.
Altriimenti se \(\displaystyle t \) è la trasposizione che scambia \(\displaystyle i \) con \(\displaystyle j \) bisogna sostituire \(\displaystyle tp=t \circ p \) con \(\displaystyle pt= p \circ t \) ma propenderei per modificare la definizione di \(\displaystyle t \).
Grazie di cuore!!!!!!!
Mi hai salvato dall'emicrania! Ti sono gratissimo... È veramente brutto quando si incontrano refusi e simili: a volte mi capita di stare dei giorni ad arrovellarmi e finire con il credere di essermi rincretinito
, per poi sentirmi dire -in questi forum, perché studio da autodidatta- che deve esserci un errore di stampa nel libro...
\(+\infty\) grazie!!!
Mi hai salvato dall'emicrania! Ti sono gratissimo... È veramente brutto quando si incontrano refusi e simili: a volte mi capita di stare dei giorni ad arrovellarmi e finire con il credere di essermi rincretinito
, per poi sentirmi dire -in questi forum, perché studio da autodidatta- che deve esserci un errore di stampa nel libro...\(+\infty\) grazie!!!
Secondo me Geometria 1 di Sernesi è uno splendido libro però possono capitare degli errori, come in tutti i libri, inoltre alcune parti sono scritte veramente male, per esempio il paragrafo sulla forma canonica di Jordan, che ti consiglio vivamente di studiare altrove.
Alla fine anche i matematici eccellenti autori di libri ottimi sono esseri umani: possono sbagliare, avere sviste, far casini con il copia-incolla come tutti, è normale!
Alla fine anche i matematici eccellenti autori di libri ottimi sono esseri umani: possono sbagliare, avere sviste, far casini con il copia-incolla come tutti, è normale!
"Leonardo89":
Secondo me Geometria 1 di Sernesi è uno splendido libro
Concordo: rigoroso, chiaro, ha tutto ciò che desidero da un libro di matematica.
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