Ora tocca a me chiedere aiuto...

[vecchio1]

ciao!
come dice il titolo ora sono io ad avere bisogno di una mano in geometria...martedì ho l'esame...
alcuni problemi mi lasciano ancora un po' perlpesso e indeciso...questi due giorni perciò dovrò studiare assolutamente!!!

vi pongo due problemi...

1)si consideri l'operatore su R3, T:x-->Ax doce x£(appartiene)R3 e

                              (1  -2  -2) 
                        A=1/3 (2   2  -1)
                              (2  -1   2)

(a) Si provi che T è una rotazione
(b) Si determini un versore dell'asse di rotazione
(c) Si determini il coseno dell'angolo assoluto della rotazione

---

la domanda (b) credo di averla risolta...basta risolvere l'equazione x=Ax
il principale problema ce l'ho per il punto (a)...al punto (c) non ho sinceramente pensato...

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2)Sia data l'applicazione T: R2-->R3 definita da

                    ((x1)) (x1+x2)
                   T((x2))=(x1-x2)
                    ((x2)) (  x1 )

Si determini la matrice associata a T rispetto

(a) le basi standard di R2 e R3
(b) le basi

                { ( 1) (1) }
                { (  ),( ) }
                { (-1) (1) }

                { (1) (-1) (1) }
                { (0),(0 ),(1) }
                { (1) (1 ) (1) }

rispettivamente di R2 e R3.


fatemi sapere presto
ciao
il vecchio

[vecchio1]

nessuno?? forza Karl so che tu puoi farcela!![;)]

[Sk_Anonymous]

Vecchio,mi dispiace ma a saperli fare te li avrei
gia' svolti.Ti pare!
Ho cercato tra le mie cose senza concludere..una mazza.
karl.

[Camillo]

Esercizio 2
determinare la matrice associata a T rispetto alle basi standard di R2 e di R3 .
Per R2 la base standard è : (e1, e2) essendo e1=(1,0) et e2=(0,1) mentre per R3 la base standard è : (e1,e2,e3) con
e1=(1,0,0) , e2=(0,1,0) , e3= ( 0,0,1)
Per trovare la matrice della trasformazione basta accostare come colonne i vettori t(ei) nei quali l'applicazione lineare applica i vettori della base standard e quindi calcolo : t(e1)= (1+0,1-0,1)=
(1,1,1) e questa è la prima colonna della matrice cercata.
La seconda colonna si ottiene analogamente calcolando
t(e2)=(0+1,0-1,0)= ( 1,-1,0).
Pertanto la matrice risulta [1,1;1,-1;1,0] è una matrice 3*2.
il segno ; indica cambio di riga .

Nel caso b) ho elaborato una soluzione ma ho dubbi sulla correttezza e do' solo dei cenni : non vorrei confonderti le idee.
L'inizio è analogo al caso precedente :
accosto come colonne i vettori t(bi) essendo b1 e b2 le basi indicate di R2, ottenendo :
t(b1)=(1+1,1-1,1)=(2,0,1)
t(b2)=(-1+1,-1-1,-1)=(0,-2,-1).
adesso devo esprimere questi vettori come combinazione della base di R3 indicata dal testo (qui è il punto dolente)e ottengo questa matrice [1,1;0,-1;1,-1](?????)
Camillo

[Sk_Anonymous]

Sul 1° Es, ecco quanto ho racimolato.
Un operatore T (nel caso di 3 dimensioni) e' una rotazione
se la matrice associata A(quadrata e non singolare)e' tale
che la sua trasposta coincide con l'inversa:
A^(t)=A^(-1) -->A^(t)*A=I [I=matrice identica]
Equivalentemente cio'significa che il prodotto scalare
dei vettori di due qualunque linee parallele (righe o
colonne) e' nullo mentre il prodotto (scalare) del vettore
di una qualunque linea per se stesso e' 1.
Si dice pure che le colonne (o le righe) formano una
base ortonormale.
E' facile verificare che cio' accade per la matrice data
(bisogna pero' dividere ogni suo elemento per 3).
Il coseno richiesto si puo' trovare con la formula
cosα=(traccia(A)-1)/2=(a11+a22+a33-1)/2
Nel nostro caso e':
cosα=(1/3+2/3+2/3-1)/2=1/3
karl.