Operazioni elementari non variano il determinante

[megaempire]

Ciao,

Sia $A =((R_1),(R_2),(.),(.),(.),(R_n))$ questa matrice avrà determinante $detA$

Se moltiplico una delle righe per un numero $\alpha$diverso da $0$ se fosse zero la dim è banale si ha :
$A_1 =((R_1),(\alphaR_2),(.),(.),(.),(R_n))$ e questa matrice avrà determinante $\alphadetA$.
Se adesso somma a una qualsiasi riga la riga due il determinante non cambia
$A_2 =((R_1+\alphaR_2),(\alphaR_2),(.),(.),(.),(R_n))$ e questa matrice avrà determinante $\alphadetA$.
Se adesso si divide per $\alpha^-1$ la riga $R_2$(ed è lecito perché $\alpha$ è diverso da zero) della matrice $A_2$ si avrà una matrice ottenuta facendo le operazioni elementari su $A$ e le due matrici hanno lo stesso determinante. Come lo si generalizza in caso di combinazioni lineari?$ A_1 $

[Maci86]

Le operazioni che fai possono essere viste tutte come matrici:
-Moltiplicare la seconda riga:
$((1,0, \cdots, 0),(0,alpha,\ddots,\vdots),(\vdots,\ddots,\ddots,0),(0,\cdots,0,1))=>|(1,0, \cdots, 0),(0,alpha,\ddots,\vdots),(\vdots,\ddots,\ddots,0),(0,\cdots,0,1)|=alpha$
-Scambiare due righe:
$((0,1, \cdots, 0),(1,0,\ddots,\vdots),(\vdots,\ddots,\ddots,0),(0,\cdots,0,1))=>|(0,1, \cdots, 0),(1,0,\ddots,\vdots),(\vdots,\ddots,\ddots,0),(0,\cdots,0,1)|=-1$
-Sommare a una riga una combinazione lineare delle altre:
$((1,alpha_1, \cdots, alpha_n),(0,1,\ddots,\vdots),(\vdots,\ddots,\ddots,0),(0,\cdots,0,1))=>|(1,alpha_1, \cdots, alpha_n),(0,1,\ddots,\vdots),(\vdots,\ddots,\ddots,0),(0,\cdots,0,1)|=1$
Non ti resta che applicarle dopo la matrice e ottieni il valore per cui viene moltiplicato il determinante originale

[megaempire]

grazie mi hai dato un altro metodo per dimostralo!