Operazione interna
Salve a tutti, voglio un parere su questo esercizio :
Sia $(V, T, ⊥)$ uno spazio vettoriale ($T$ e l’operazione interna, $⊥$ quella esterna). Siano $x$ e $x'$ vettori fissati in $V$ tali che comunque si prenda un $y \in V$ risulti $xTy= y$ e $x'Ty = y$. E vero o no che $x = x'$? (Dimostrare quanto affermato.)
Io ho fatto così :
L'operazione di somma è un'operazione interna e $\forall y \in V$ e se io faccio $(0,0,0)+(v_1,v_2,v_3)$ ottengo sempre $(v_1,v_2,v_3)$ dunque posso dire che $x=x'$ con $x=x'=(0,0,0).$
Ma se per esempio considero il prodotto vettoriale (che è anch'esso un'operazione interna sulle terne di numeri reali) io ho che
$(v_1,v_2,v_3)X(0,0,0) = (0,0,0)$ ma questo lo posso fare solo quando $y=(0,0,0)$ e no $\forall y$ come dice il testo.
Dunque non sono giunto ad una vera e propria conclusione. Magari c'è una proposizione o simile che può venirmi in contro?
Sia $(V, T, ⊥)$ uno spazio vettoriale ($T$ e l’operazione interna, $⊥$ quella esterna). Siano $x$ e $x'$ vettori fissati in $V$ tali che comunque si prenda un $y \in V$ risulti $xTy= y$ e $x'Ty = y$. E vero o no che $x = x'$? (Dimostrare quanto affermato.)
Io ho fatto così :
L'operazione di somma è un'operazione interna e $\forall y \in V$ e se io faccio $(0,0,0)+(v_1,v_2,v_3)$ ottengo sempre $(v_1,v_2,v_3)$ dunque posso dire che $x=x'$ con $x=x'=(0,0,0).$
Ma se per esempio considero il prodotto vettoriale (che è anch'esso un'operazione interna sulle terne di numeri reali) io ho che
$(v_1,v_2,v_3)X(0,0,0) = (0,0,0)$ ma questo lo posso fare solo quando $y=(0,0,0)$ e no $\forall y$ come dice il testo.
Dunque non sono giunto ad una vera e propria conclusione. Magari c'è una proposizione o simile che può venirmi in contro?
Risposte
UP.
Usi una notazione complicata senza motivo. Perché non \((V, +, \cdot)\)? Così diventa immediatamente chiaro che \(x+y=y\) implica \(x=0\) (come hai detto, ma in modo oscuro e strampalato). Inoltre non c'è il rischio di confondersi con il prodotto vettoriale, che non è una operazione interna di spazio vettoriale perché non è commutativa.
"dissonance":
Usi una notazione complicata senza motivo. Perché non \((V, +, \cdot)\)?
E' la traccia di un testo d'esame, non l'ho decisa io. Comunque la somma interna e prodotto vettoriale sono state una mia ipotesi e inoltre trovo riportato (per esempio su Wikipedia) che il prodotto vettoriale è un'operazione interna.
Si, ma non è una operazione valida di spazio vettoriale. Riguardati gli assiomi di spazio vettoriale. L'operazione interna deve essere commutativa.
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