Operatori Lineari, esercizi che non riesco a svolgere
Salve a tutti, ho un problema a svolgere gli esercizi per sapere se un operatore è lineare o no, conosco la formula
$af(x_1,y_1)+b(x_2,y_2)=f(ax_1+bx_2,ay_1+by_2)$
ma non riesco ad applicarla...vorrei capire questi 3 esercizi che sono differenti tra loro:
f(x)=255-x
f(x,y)=(255-x,y^2)
f(x,y)=xy
le prime due le svolgo a risultano sempre uguali, quindi sbaglierò qualcosa perche so che non sono lineari, la terza invece non so proprio come svolgerla, essendo in due incognite ma poi mi trovo solo xy e non due valori distinti.
Confido in voi ragazzi! Grazie mille!
$af(x_1,y_1)+b(x_2,y_2)=f(ax_1+bx_2,ay_1+by_2)$
ma non riesco ad applicarla...vorrei capire questi 3 esercizi che sono differenti tra loro:
f(x)=255-x
f(x,y)=(255-x,y^2)
f(x,y)=xy
le prime due le svolgo a risultano sempre uguali, quindi sbaglierò qualcosa perche so che non sono lineari, la terza invece non so proprio come svolgerla, essendo in due incognite ma poi mi trovo solo xy e non due valori distinti.
Confido in voi ragazzi! Grazie mille!
Risposte
Ciao, iniziamo dalla prima: $$f(x) = 255-x$$
Allora possiamo dire $$f\left(\alpha x_1 + \beta x_2\right) = 255-\alpha x_1 - \beta x_2$$
Invece $$\alpha f(x_1) + \beta f(x_2) = \alpha\left(255-x_1\right) + \beta\left(255-x_2\right)$$ e le due espressioni sono ovviamente diverse.
Allora possiamo dire $$f\left(\alpha x_1 + \beta x_2\right) = 255-\alpha x_1 - \beta x_2$$
Invece $$\alpha f(x_1) + \beta f(x_2) = \alpha\left(255-x_1\right) + \beta\left(255-x_2\right)$$ e le due espressioni sono ovviamente diverse.
Grazie mille... non riesco a capire però
\[ f\left(\alpha x_1 + \beta x_2\right) = 255-\alpha x_1 - \beta x_2 \]\
questo passaggio potresti spiegarmelo meglio?
per la seconda operazione basta che capisco il ragionamento e dovrei arrivarci da solo, mentre la terza non so proprio come farla
\[ f\left(\alpha x_1 + \beta x_2\right) = 255-\alpha x_1 - \beta x_2 \]\
questo passaggio potresti spiegarmelo meglio?
per la seconda operazione basta che capisco il ragionamento e dovrei arrivarci da solo, mentre la terza non so proprio come farla
Immagina queste funzioni come ingresso -> uscita. La prima ti dice di fare $255$ meno quello che gli passi in ingresso (cioè tra parentesi), quindi se gli passi $alpha x_1 + beta x_2$ lei ti restituisce $255 - alpha x_1 - beta x_2$.
Per la seconda abbiamo $$f\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}255-x\\y^2\end{bmatrix}$$ Allora possiamo prendere due vettori e due scalari $$v_1=\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}, v_2=\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}, \alpha, \beta$$ e fare lo stesso ragionamento di prima. $$f(\alpha v_1 + \beta v_2) = f\left(\begin{bmatrix}\alpha x_1+\beta x_2\\\alpha y_1+\beta y_2\end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix}255-\alpha x_1-\beta x_2 \\ \left(\alpha y_1+\beta y_2\right)^2\end{bmatrix}$$ Invece $$\alpha f(v_1)+\beta f(v_2) = \alpha \begin{bmatrix}255-x_1\\y_1^2\end{bmatrix} + \beta\begin{bmatrix}255-x_2\\y_2^2\end{bmatrix}$$ e le espressioni sono diverse.
Per la terza abbiamo $$f\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=xy$$ Come sempre possiamo prendere due vettori e due scalari $$v_1=\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}, v_2=\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}, \alpha, \beta$$ e fare il solito ragionamento. $$f(\alpha v_1+\beta v_2) = f\begin{bmatrix}\alpha x_1+\beta x_2\\\alpha y_1+\beta y_2\end{bmatrix} = \left(\alpha x_1+\beta x_2\right)\left(\alpha y_1+\beta y_2\right)$$ Invece $$\alpha f(v_1)+\beta f(v_2) = \alpha x_1 y_1 + \beta x_2 y_2$$ e di nuovo le espressioni sono diverse.
Infine, per completezza, ti faccio vedere come viene in caso di funzione lineare. Prendiamo $$f\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x-y\\x+y\end{bmatrix}$$ Abbiamo $$f(\alpha v_1+\beta v_2) = f\begin{bmatrix}\alpha x_1+\beta x_2\\\alpha y_1+\beta y_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\alpha x_1+\beta x_2-\alpha y_1-\beta y_2 \\ \alpha x_1+\beta x_2+\alpha y_1+\beta y_2\end{bmatrix}$$ Raccogliendo otteniamo $$f(\alpha v_1+\beta v_2) = \begin{bmatrix}\alpha\left(x_1-y_1\right)+\beta\left(x_2-y_2\right)\\ \alpha\left(x_1+y_1\right)+\beta\left(x_2+y_2\right)\end{bmatrix}$$ D'altra parte $$\alpha f(v_1)+\beta f(v_2) = \alpha \begin{bmatrix}x_1-y_1\\x_1+y_1\end{bmatrix}+\beta\begin{bmatrix}x_2-y_2\\x_2+y_2\end{bmatrix}$$ e questa espressione è uguale all'altra, quindi la funzione è lineare.
Per la seconda abbiamo $$f\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}255-x\\y^2\end{bmatrix}$$ Allora possiamo prendere due vettori e due scalari $$v_1=\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}, v_2=\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}, \alpha, \beta$$ e fare lo stesso ragionamento di prima. $$f(\alpha v_1 + \beta v_2) = f\left(\begin{bmatrix}\alpha x_1+\beta x_2\\\alpha y_1+\beta y_2\end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix}255-\alpha x_1-\beta x_2 \\ \left(\alpha y_1+\beta y_2\right)^2\end{bmatrix}$$ Invece $$\alpha f(v_1)+\beta f(v_2) = \alpha \begin{bmatrix}255-x_1\\y_1^2\end{bmatrix} + \beta\begin{bmatrix}255-x_2\\y_2^2\end{bmatrix}$$ e le espressioni sono diverse.
Per la terza abbiamo $$f\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=xy$$ Come sempre possiamo prendere due vettori e due scalari $$v_1=\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}, v_2=\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}, \alpha, \beta$$ e fare il solito ragionamento. $$f(\alpha v_1+\beta v_2) = f\begin{bmatrix}\alpha x_1+\beta x_2\\\alpha y_1+\beta y_2\end{bmatrix} = \left(\alpha x_1+\beta x_2\right)\left(\alpha y_1+\beta y_2\right)$$ Invece $$\alpha f(v_1)+\beta f(v_2) = \alpha x_1 y_1 + \beta x_2 y_2$$ e di nuovo le espressioni sono diverse.
Infine, per completezza, ti faccio vedere come viene in caso di funzione lineare. Prendiamo $$f\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x-y\\x+y\end{bmatrix}$$ Abbiamo $$f(\alpha v_1+\beta v_2) = f\begin{bmatrix}\alpha x_1+\beta x_2\\\alpha y_1+\beta y_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\alpha x_1+\beta x_2-\alpha y_1-\beta y_2 \\ \alpha x_1+\beta x_2+\alpha y_1+\beta y_2\end{bmatrix}$$ Raccogliendo otteniamo $$f(\alpha v_1+\beta v_2) = \begin{bmatrix}\alpha\left(x_1-y_1\right)+\beta\left(x_2-y_2\right)\\ \alpha\left(x_1+y_1\right)+\beta\left(x_2+y_2\right)\end{bmatrix}$$ D'altra parte $$\alpha f(v_1)+\beta f(v_2) = \alpha \begin{bmatrix}x_1-y_1\\x_1+y_1\end{bmatrix}+\beta\begin{bmatrix}x_2-y_2\\x_2+y_2\end{bmatrix}$$ e questa espressione è uguale all'altra, quindi la funzione è lineare.
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