Operatori lineari e matrici rappresentative! Help!

[Black Symphony]

Che cosa vuol dire sfruttare la linearità per scrivere la matrice rappresentativa di un operatore lineare? Ho:
F(e1+e3)=e1+e2+2e3
F(2e2)=e2
F(e2+3e3)=3e1+5e2+6e3
Io scriverei la matrice mettendo per colonna (1,1,2) (0,1,0) (3,5,6) ma la risoluzione dell'esercizio dice che sfruttando la linearità si ha la matrice che ha per colonna (0,1/2,0) (0,7/2,0) (1,1/2,2)....perchè? Alla fine non arrivo sempre agli stessi risultati, ad esempio il rango delle 2 matrici è sempre 2!
L'idea di passare l'esame mercoledì si allontana sempre più...

[minomic]

Ciao, sei sicura del testo e delle soluzioni che hai postato?
In ogni caso sfruttando la linearità puoi dire che
\begin{align*}
f(x+y) &= f(x)+f(y) \\\\
f(\alpha x) &= \alpha f(x)
\end{align*} Quindi prendendo la seconda relazione che hai scritto possiamo dire
\[
F(2e_2) = e_2 \Rightarrow 2F(e_2) = e_2 \Rightarrow F(e_2) = \frac{1}{2} e_2 = \left ( \begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{matrix} \right )
\]Proseguendo nello stesso modo si dovrebbe arrivare a
\[
F(e_1) = \left ( \begin{matrix} 0 \\ - \frac{1}{2} \\ 0 \end{matrix} \right ), \, F(e_2) = \left ( \begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{matrix} \right ), \, F(e_3) = \left ( \begin{matrix} 1 \\ \frac{3}{2} \\ 2 \end{matrix} \right )
\]Quindi la matrice dovrebbe essere
\[
\left(
\begin{matrix}
0 & 0 & 1 \\
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\
0 & 0 & 2
\end{matrix}
\right)
\]che ci porterebbe a un'applicazione definita come
\[
F(x, y, z) = (z, -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y + \frac{3}{2}z, 2z)
\]

Potrei anche sbagliarmi, comunque ricontrolla testo e soluzioni.

[Black Symphony]

Il secondo è: F(2e1)=e2... A volte nelle soluzioni si trovano errori però siccome non capisco cosa bisogna fare "per sfruttare la linearità" non so se c'è qualche risultato sbagliato! :S Grazie comunque!

[minomic]

"Caterella":Il secondo è: F(2e1)=e2

Ah ecco, allora ci siamo! Procedendo come dicevo nel post precedente diciamo
\[
F(2e_1) = e_2 \Rightarrow 2F(e_1) = e_2 \Rightarrow F(e_1) = \frac{1}{2} e_2 = \left( \begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{matrix} \right)
\]che quindi sarà la prima colonna della nostra matrice. Poi si continua come scrivevo prima e si trovano le altre (che adesso verranno con numeri diversi).
Fammi sapere se hai ancora dei dubbi.

[minomic]

Concludo l'esercizio:
abbiamo trovato
\[
F(e_1) = \left ( \begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{matrix} \right )
\]Dalla prima relazione possiamo dire
\[
F(e_3) = \left ( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right ) - F(e_1) = \left ( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right ) - \left ( \begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} 1 \\ \frac{1}{2} \\ 2 \end{matrix} \right )
\]Infine consideriamo l'ultima relazione e troviamo
\[
F(e_2) = \left ( \begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 6 \end{matrix} \right ) - 3F(e_3) =
\left ( \begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 6 \end{matrix} \right ) - \left ( \begin{matrix} 3 \\ \frac{3}{2} \\ 6 \end{matrix} \right ) =
\left ( \begin{matrix} 0 \\ \frac{7}{2} \\ 0 \end{matrix} \right )
\]In conclusione la matrice sarà
\[
\left(
\begin{matrix}
0 & 0 & 1 \\
\frac{1}{2} & \frac{7}{2} & \frac{1}{2} \\
0 & 0 & 2
\end{matrix}
\right)
\]

[Black Symphony]

Oh mamma che casino...però ho capito grazie! Ma se avessi usato la matrice dedotta da me cosa sarebbe cambiato?

[minomic]

"Caterella":Ma se avessi usato la matrice dedotta da me cosa sarebbe cambiato?

La matrice che avevi scritto era sempre associata all'applicazione ma non secondo la base canonica. In particolare era la matrice rispetto alla base
\[
\left \{
\left (
\begin{matrix}
1 \\ 0 \\ 1
\end{matrix}
\right ),
\left (
\begin{matrix}
2 \\ 0 \\ 0
\end{matrix}
\right ),
\left (
\begin{matrix}
0 \\ 1 \\ 3
\end{matrix}
\right )
\right \}
\]