Operatori lineari e matrici rappresentative 2! Aiuto!
Ho l'endomorfismo di R3 definito da:
F(e1+e2)=e1-e2
F(e2+e3)=e2+e3
F(e1+e3)=e1+e3
Come utilizzo la linearità per scrivere la matrice rappresentativa?
La risoluzione dice che è la matrice che ha per colonne (1 -1 0) (0 0 0) (0 1 1)...vorrei capire il perchè della seconda...ho capito cosa è la linearità ma non so applicarla! :S Help!
F(e1+e2)=e1-e2
F(e2+e3)=e2+e3
F(e1+e3)=e1+e3
Come utilizzo la linearità per scrivere la matrice rappresentativa?
La risoluzione dice che è la matrice che ha per colonne (1 -1 0) (0 0 0) (0 1 1)...vorrei capire il perchè della seconda...ho capito cosa è la linearità ma non so applicarla! :S Help!
Risposte
Ciao, rieccoci! 
Sfruttando la linearità possiamo scrivere
\[f(e_1) + f(e_2) = \left( \begin{matrix} 1\\-1\\0 \end{matrix} \right)\]
\[f(e_2) + f(e_3) = \left( \begin{matrix} 0\\1\\1 \end{matrix} \right)\]
\[f(e_1) + f(e_3) = \left( \begin{matrix} 1\\0\\1 \end{matrix} \right)\]e sappiamo che il nostro scopo, per scrivere la matrice, è trovare queste $f(e_1), f(e_2), f(e_3)$. Possiamo farlo in modo semplice tramite opportune somme/differenze membro a membro tra le tre relazioni scritte sopra.
Sfruttando la linearità possiamo scrivere
\[f(e_1) + f(e_2) = \left( \begin{matrix} 1\\-1\\0 \end{matrix} \right)\]
\[f(e_2) + f(e_3) = \left( \begin{matrix} 0\\1\\1 \end{matrix} \right)\]
\[f(e_1) + f(e_3) = \left( \begin{matrix} 1\\0\\1 \end{matrix} \right)\]e sappiamo che il nostro scopo, per scrivere la matrice, è trovare queste $f(e_1), f(e_2), f(e_3)$. Possiamo farlo in modo semplice tramite opportune somme/differenze membro a membro tra le tre relazioni scritte sopra.
Eh...ok, se avessi avuto già ad esempio F(e1) avrei saputo applicare tutto il resto e risolvere...ma non ho capito come faccio a risolvere la prima relazione per poter applicarla alle altre... :S
"Caterella":
Eh...ok, se avessi avuto già ad esempio F(e1) avrei saputo applicare tutto il resto e risolvere...ma non ho capito come faccio a risolvere la prima relazione per poter applicarla alle altre... :S
Infatti non puoi risolvere la prima da sola ma dobbiamo coinvolgere tutte le relazioni. E' come se fosse un sistema!
Differenza membro a membro tra la prima e la terza:
\[f(e_2) - f(e_3) = \left( \begin{matrix} 0\\-1\\-1 \end{matrix} \right)\]
Somma membro a membro tra quest'ultima relazione e la seconda:
\[2f(e_2) = \left( \begin{matrix} 0\\0\\0 \end{matrix} \right) \Rightarrow f(e_2) = \left( \begin{matrix} 0\\0\\0 \end{matrix} \right)\]
Di conseguenza
\[f(e_1) = \left( \begin{matrix} 1\\-1\\0 \end{matrix} \right), \, f(e_3) = \left( \begin{matrix} 0\\1\\1 \end{matrix} \right)\]
Sono un po' perplessa ho capito il gioco delle sostituzioni ma spero che al compito non mi capiteranno esercizi dove dovrò applicare la linearità! :S Grazie di nuovo! Se non vuoi più vedermi su questo forum augurami di passare l'esame! XD
"Caterella":
Grazie di nuovo! Se non vuoi più vedermi su questo forum augurami di passare l'esame!
Prego! Ti auguro di passare l'esame ma non certo per non rivederti più sul forum!
In ogni caso se hai altri dubbi chiedi pure che ne parliamo.
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